गणित भाग 1 (बीजगणित) Mathematics Part 1 (Algebra)

थोडक्यात सारांश

x आणि y मधील दोन समीकरणे एकाच वेळी सोडवून दोन्हींचे समाधान करणारी (x, y) ही जोडी शोधायची. आलेख, समीकरण, चलाचा लोप करण्याची पद्धत किंवा क्रेमरची पद्धत वापरतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• दोन चलांतील रेषीय समीकरण – ax + by = c, (a आणि b दोन्ही 0 नाहीत).
• एकसामयिक समीकरणे – एकत्र सोडवायची दोन समीकरणे.
• निश्चयक – |a b; c d| = ad − bc.

सूत्रे

• a₁x + b₁y = c₁ आणि a₂x + b₂y = c₂ साठी (क्रेमरची पद्धत):
• D = a₁b₂ − a₂b₁
• Dx = c₁b₂ − c₂b₁
• Dy = a₁c₂ − a₂c₁
• x = Dx/D, y = Dy/D (फक्त D ≠ 0 असताना)

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. सोडवा: x + y = 5 आणि x − y = 1

दोन्ही समीकरणांची बेरीज: 2x = 6, म्हणून x = 3.
x = 3 हे x + y = 5 मध्ये ठेवा: y = 2.
उत्तर: x = 3, y = 2

उदाहरण 2. क्रेमरच्या पद्धतीने सोडवा: 3x − 4y = 10 आणि 4x + 3y = 5

D = (3)(3) − (4)(−4) = 9 + 16 = 25
Dx = (10)(3) − (5)(−4) = 30 + 20 = 50
Dy = (3)(5) − (4)(10) = 15 − 40 = −25
x = 50/25 = 2, y = −25/25 = −1
उत्तर: x = 2, y = −1

झटपट उजळणी

• आधी दोन्ही समीकरणे ax + by = c या रूपात लिहा.
• लोप पद्धत: x (किंवा y) चे सहगुणक समान करा, मग बेरीज किंवा वजाबाकी करा.
• आलेख पद्धत: दोन रेषांचा छेदनबिंदू म्हणजे उत्तर.
• D = 0 असेल तर क्रेमरची पद्धत वापरता येत नाही.
• 1/x, 1/y असलेली समीकरणे: 1/x = m, 1/y = n मानून सोडवा.

परीक्षेसाठी टीप

x, y च्या किमती दोन्ही समीकरणांत ठेवून उत्तर तपासा.

थोडक्यात सारांश

ज्या समीकरणात चलाचा सर्वांत मोठा घात 2 असतो ते वर्गसमीकरण. त्याला दोन मुळे असतात. ती अवयव पद्धत, पूर्ण वर्ग पद्धत किंवा सूत्राने काढतात; विवेचक मुळांचे स्वरूप सांगतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• वर्गसमीकरण – ax² + bx + c = 0, (a ≠ 0).
• मूळ (उकल) – समीकरण सत्य करणारी x ची किंमत.
• विवेचक (Δ) – b² − 4ac.

सूत्रे

• मुळे: x = [−b ± √(b² − 4ac)] / 2a
• Δ = b² − 4ac
• मुळांची बेरीज: α + β = −b/a
• मुळांचा गुणाकार: αβ = c/a
• मुळांवरून समीकरण: x² − (α + β)x + αβ = 0

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. अवयव पद्धतीने सोडवा: x² − 5x + 6 = 0

x² − 2x − 3x + 6 = 0
x(x − 2) − 3(x − 2) = 0 → (x − 2)(x − 3) = 0
मुळे: x = 2 किंवा x = 3

उदाहरण 2. सूत्राने सोडवा: 2x² + 5x − 3 = 0

a = 2, b = 5, c = −3
Δ = 25 − 4(2)(−3) = 49, √Δ = 7
x = (−5 ± 7)/4
मुळे: x = 1/2 किंवा x = −3

झटपट उजळणी

• Δ > 0 → मुळे वास्तव व भिन्न.
• Δ = 0 → मुळे वास्तव व समान.
• Δ < 0 → मुळे वास्तव नाहीत.
• दिलेली किंमत मूळ आहे का? ती समीकरणात ठेवा; उत्तर 0 आले तर मूळ आहे.
• आधी समीकरण ax² + bx + c = 0 या रूपात लिहा.

परीक्षेसाठी टीप

a, b, c त्यांच्या चिन्हांसह आधी लिहा. बहुतेक चुका ऋण चिन्हात होतात.

थोडक्यात सारांश

ज्या क्रमिकेत प्रत्येक वेळी एकच संख्या मिळवून पुढचे पद मिळते ती अंकगणिती श्रेढी. या प्रकरणात कोणतेही पद (tₙ) आणि पदांची बेरीज (Sₙ) काढायला शिकतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• क्रमिका – ठराविक क्रमाने लिहिलेल्या संख्या: t₁, t₂, t₃, ...
• अंकगणिती श्रेढी (A.P.) – लगतच्या कोणत्याही दोन पदांतील फरक समान असतो.
• सामाईक फरक (d) – d = t₂ − t₁ = t₃ − t₂ = ...

सूत्रे

• n वे पद: tₙ = a + (n − 1)d
• पहिल्या n पदांची बेरीज: Sₙ = n/2 [2a + (n − 1)d]
• Sₙ = n/2 (पहिले पद + शेवटचे पद)
• tₙ = Sₙ − Sₙ₋₁
• (a = पहिले पद, d = सामाईक फरक, n = पदांची संख्या)

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. 3, 8, 13, ... या श्रेढीचे 15 वे पद काढा.

a = 3, d = 5, n = 15
t₁₅ = 3 + (15 − 1) × 5 = 3 + 70
t₁₅ = 73

उदाहरण 2. 2, 6, 10, ... च्या पहिल्या 20 पदांची बेरीज काढा.

a = 2, d = 4, n = 20
S₂₀ = 20/2 [2 × 2 + 19 × 4] = 10 × 80
S₂₀ = 800

झटपट उजळणी

• सामान्य रूप: a, a + d, a + 2d, ...
• d धन, ऋण किंवा शून्य असू शकतो.
• 3 पदे: a − d, a, a + d. 4 पदे: a − 3d, a − d, a + d, a + 3d.
• एखादी संख्या पद आहे का? n काढा; n धन पूर्णांक नसेल तर ती पद नाही.
• पहिल्या n नैसर्गिक संख्यांची बेरीज = n(n + 1)/2.

परीक्षेसाठी टीप

आधी a, d, n लिहा, मग सूत्र, मग किमती. प्रत्येक पायरीला गुण असतात.

थोडक्यात सारांश

दैनंदिन जीवनातील पैशाचे नियोजन: वस्तू व सेवा कर (GST), शेअर्स आणि म्युच्युअल फंडातील गुंतवणूक.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• GST – वस्तू व सेवा कर.
• CGST व SGST – एकाच राज्यातील व्यवहारात GST अर्धा-अर्धा: CGST (केंद्र) + SGST (राज्य).
• IGST – एका राज्यातून दुसऱ्या राज्यात विक्रीवरील GST.
• इनपुट टॅक्स क्रेडिट (ITC) – खरेदी करताना भरलेला GST, जो विक्रीवरील GST मधून वजा होतो.
• दर्शनी किंमत (FV) – शेअरवर छापलेली किंमत.
• बाजारभाव (MV) – शेअर बाजारातील आजची किंमत.
• दलाली – शेअर खरेदी-विक्रीसाठी दलालाला दिलेले शुल्क (त्यावर 18% GST).
• लाभांश – कंपनीच्या नफ्यातून भागधारकांना मिळणारा हिस्सा, नेहमी दर्शनी किमतीवर.
• म्युच्युअल फंड / SIP – लोकांचे पैसे गुंतवणारा फंड; SIP = दरमहा ठराविक रक्कम गुंतवणे.

सूत्रे

• GST = करपात्र किंमत × GST दर / 100
• CGST = SGST = GST / 2
• भरायचा GST = आउटपुट कर − ITC
• 1 शेअरची खरेदी किंमत = MV + दलाली + दलालीवरील GST
• 1 शेअरची विक्री रक्कम = MV − दलाली − दलालीवरील GST
• लाभांश = FV × लाभांशाचा दर / 100
• परताव्याचा दर = (लाभांश ÷ गुंतवणूक) × 100

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. एका पिशवीची किंमत ₹1000 व GST 18% आहे. CGST, SGST व एकूण बिल काढा.

GST = 1000 × 18/100 = ₹180
CGST = SGST = ₹90
एकूण बिल = ₹1180

उदाहरण 2. रवीने MV ₹50 चे 100 शेअर्स 0.2% दलाली व 18% GST ने घेतले. एकूण खर्च काढा.

दलाली = 50 × 0.2/100 = ₹0.10
दलालीवरील GST = 0.10 × 18/100 = ₹0.018
1 शेअरची किंमत = 50 + 0.10 + 0.018 = ₹50.118
एकूण खर्च = 100 × 50.118 = ₹5011.80

झटपट उजळणी

• GST दर: 0%, 5%, 12%, 18%, 28%.
• एकच राज्य → CGST + SGST; वेगळी राज्ये → IGST.
• टॅक्स इन्व्हॉइसवर GSTIN, HSN/SAC कोड, दर व कराची रक्कम असते.
• अधिमूल्य: MV > FV. वटाव: MV < FV. सममूल्य: MV = FV.
• दलाली MV वर; लाभांश FV वर.

परीक्षेसाठी टीप

शेअरच्या उदाहरणात आधी एका शेअरची किंमत काढा, मग शेअर्सच्या संख्येने गुणा.

थोडक्यात सारांश

एखादी घटना घडण्याची शक्यता म्हणजे संभाव्यता. ती नेहमी 0 ते 1 मधील संख्या असते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• यादृच्छिक प्रयोग – ज्याचा निष्कर्ष आधी सांगता येत नाही (नाणे फेकणे, फासा टाकणे).
• निष्पत्ती – एक शक्य निष्कर्ष.
• नमुना अवकाश (S) – सर्व निष्पत्तींचा संच; n(S) = निष्पत्तींची संख्या.
• घटना – हव्या असलेल्या निष्पत्तींचा संच.
• निश्चित घटना – P = 1. अशक्य घटना – P = 0.

सूत्रे

• P(A) = n(A) / n(S)
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(A नाही) = 1 − P(A)

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. दोन नाणी फेकली. किमान एक छाप मिळण्याची संभाव्यता काढा.

S = {HH, HT, TH, TT}, n(S) = 4
A = {HH, HT, TH}, n(A) = 3
P(A) = 3/4

उदाहरण 2. 52 पत्त्यांतून एक पत्ता काढला. तो राजा असण्याची संभाव्यता काढा.

n(S) = 52, राजे = 4
P(A) = 4/52
P(A) = 1/13

झटपट उजळणी

• एक नाणे: n(S) = 2; दोन नाणी: 4; तीन नाणी: 8.
• एक फासा: n(S) = 6; दोन फासे: 36.
• पत्ते: 52; 4 प्रकार × 13; 26 लाल, 26 काळे; 12 चित्रपत्ते (J, Q, K).
• "किमान एक" म्हणजे एक किंवा अधिक.

परीक्षेसाठी टीप

आधी n(S), n(A) लिहा, मग P(A). उत्तर सोप्या अपूर्णांकात द्या.

थोडक्यात सारांश

वर्गीकृत सामग्रीसाठी मध्य, मध्यक व बहुलक काढणे आणि सामग्री आलेखाने दाखवणे.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• वर्गमध्य (xᵢ) – (वर्गाची खालची मर्यादा + वरची मर्यादा)/2.
• वारंवारता (fᵢ) – वर्गात येणाऱ्या किमतींची संख्या.
• संचित वारंवारता (cf) – वारंवारतांची चालू बेरीज.
• मध्यक वर्ग – ज्या वर्गात N/2 येतो तो.
• बहुलक वर्ग – सर्वांत जास्त वारंवारतेचा वर्ग.

सूत्रे

• मध्य (प्रत्यक्ष पद्धत): x̄ = Σfᵢxᵢ / Σfᵢ
• गृहीत मध्य पद्धत: x̄ = A + Σfᵢdᵢ / Σfᵢ, dᵢ = xᵢ − A
• विचलन-पायरी पद्धत: x̄ = A + (Σfᵢuᵢ / Σfᵢ) × g, uᵢ = (xᵢ − A)/g
• मध्यक = L + [(N/2 − cf) / f] × h
• बहुलक = L + [(f₁ − f₀) / (2f₁ − f₀ − f₂)] × h
• वृत्तालेख: केंद्रीय कोन = (किंमत / एकूण) × 360°

सोडवलेली उदाहरणे

दोन्ही उदाहरणांसाठी सारणी:

उदाहरण 1. मध्यक काढा.

N = 40, N/2 = 20. cf: 5, 13, 25 ... म्हणून मध्यक वर्ग 20–30.
L = 20, cf = 13, f = 12, h = 10
मध्यक = 20 + [(20 − 13)/12] × 10
मध्यक ≈ 25.83

उदाहरण 2. बहुलक काढा.

बहुलक वर्ग 20–30: L = 20, f₁ = 12, f₀ = 8, f₂ = 10, h = 10
बहुलक = 20 + [4/(24 − 8 − 10)] × 10 = 20 + (4/6) × 10
बहुलक ≈ 26.67

झटपट उजळणी

• याच सारणीचा मध्य: Σfᵢxᵢ = 1020, x̄ = 1020/40 = 25.5.
• मोठ्या संख्या असल्यास गृहीत मध्य किंवा विचलन-पायरी पद्धत वापरा.
• आयतालेख: स्तंभांमध्ये अंतर नसते. वारंवारता बहुभुज: वर्गमध्यांवरील बिंदू जोडणे.
• वृत्तालेखातील सर्व केंद्रीय कोनांची बेरीज = 360°.

परीक्षेसाठी टीप

सर्व स्तंभांसह (xᵢ, fᵢxᵢ किंवा cf) सारणी नीट काढा; बहुतेक गुण सारणीला असतात.