गणित भाग 1 (बीजगणित) Mathematics Part 1 (Algebra)

थोडक्यात सारांश

संच म्हणजे घटक अचूक व नेमकेपणाने सांगता येतील असा वस्तूंचा समूह. संच लिहिण्याच्या पद्धती, संचांचे प्रकार, उपसंच, विश्वसंच, वेन आकृती, संचांचा छेद व संयोग आणि संचातील घटकांची संख्या मोजणे, हे या प्रकरणात शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• एखादी वस्तू समूहात आहे की नाही हे निश्चितपणे ठरवता आले तरच तो समूह संच असतो. "10 पेक्षा लहान विषम संख्या" हा संच आहे; "हुशार विद्यार्थी" हा संच नाही.
• संचाला A, B, C अशी मोठी अक्षरे व घटकांना लहान अक्षरे वापरतात. a ∈ A म्हणजे a हा A चा घटक आहे; a ∉ A म्हणजे नाही.
• संच लिहिण्याच्या दोन पद्धती: यादी पद्धती – A = {2, 3, 5, 7}; गुणधर्म पद्धती – A = {x | x ही 10 पेक्षा लहान मूळ संख्या आहे}.
• प्रमाणित संच: N – नैसर्गिक संख्या, W – पूर्ण संख्या, I – पूर्णांक, Q – परिमेय संख्या, R – वास्तव संख्या.
• संचांचे प्रकार: एकघटक संच (फक्त एक घटक), रिक्त संच ∅ किंवा { } (एकही घटक नाही), सांत संच (घटक मोजता येतात), अनंत संच (घटक अमर्याद).
• समान संच: दोन्ही संचांत अगदी तेच घटक असतील तर A = B (घटकांचा क्रम व पुनरावृत्ती महत्त्वाची नाही).
• उपसंच: A चा प्रत्येक घटक B मध्ये असेल तर A ⊆ B. प्रत्येक संच स्वतःचा उपसंच असतो; रिक्त संच प्रत्येक संचाचा उपसंच असतो.
• विश्वसंच (U): विचारातील सर्व संच ज्याचे उपसंच आहेत असा मोठा संच. पूरक संच A′ = U मधील जे घटक A मध्ये नाहीत ते.
• छेद A ∩ B = दोन्ही संचांतील सामाईक घटक. A ∩ B = ∅ असेल तर संच विभिन्न असतात.
• संयोग A ∪ B = A मधील किंवा B मधील किंवा दोन्हींतील सर्व घटक.
• गुणधर्म: A ∩ B = B ∩ A; A ∪ B = B ∪ A; A ⊆ B असेल तर A ∩ B = A व A ∪ B = B; A ∩ A′ = ∅; A ∪ A′ = U.
• वेन आकृतीत विश्वसंच आयताने व इतर संच वर्तुळांनी दाखवतात; त्यामुळे छेद व संयोग सहज समजतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• संच – नेमकेपणाने ठरवता येणारा वस्तूंचा समूह.
• घटक – संचातील सदस्य.
• उपसंच – ज्याचा प्रत्येक घटक दुसऱ्या संचात आहे असा संच.
• n(A) – संच A मधील घटकांची संख्या.

सूत्रे

• n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
• A व B विभिन्न असतील तर: n(A ∪ B) = n(A) + n(B)
• n(A′) = n(U) − n(A)
• n घटक असलेल्या संचाचे एकूण उपसंच = 2ⁿ

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. यादी पद्धतीने लिहा: B = {x | x ही 1 ते 20 मधील मूळ संख्या आहे}.

B = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19}.

Q2. U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, A = {1, 3, 5, 7} व B = {2, 3, 5, 8} असेल तर A ∩ B, A ∪ B व A′ काढा.

A ∩ B = {3, 5}; A ∪ B = {1, 2, 3, 5, 7, 8}; A′ = {2, 4, 6, 8}.

Q3. 40 विद्यार्थ्यांच्या वर्गात 25 जणांना क्रिकेट, 20 जणांना फुटबॉल व 10 जणांना दोन्ही खेळ आवडतात. किमान एक खेळ आवडणारे किती? एकही खेळ न आवडणारे किती?

n(C ∪ F) = n(C) + n(F) − n(C ∩ F) = 25 + 20 − 10 = 35.
एकही खेळ न आवडणारे = 40 − 35 = 5.

Q4. एका सर्वेक्षणात 70 जणांना चहा, 50 जणांना कॉफी व 15 जणांना दोन्ही आवडतात. वेन आकृतीच्या मदतीने फक्त चहा व फक्त कॉफी आवडणारे किती ते काढा.

छेदात 15 लिहा. फक्त चहा = 70 − 15 = 55. फक्त कॉफी = 50 − 15 = 35.
किमान एक पेय आवडणारे = 55 + 15 + 35 = 105.

Q5. P = {1, 2} चे सर्व उपसंच लिहा.

∅, {1}, {2}, {1, 2}. एकूण उपसंच = 2² = 4.

परीक्षेसाठी टीप

शाब्दिक उदाहरणांत वेन आकृतीत आधी छेदाची संख्या भरा, मग "फक्त" भाग काढा; त्यामुळे दोनदा मोजणे टळते.

थोडक्यात सारांश

परिमेय संख्यांची उजळणी, अपरिमेय संख्यांची ओळख आणि परिमेय व अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्या बनतात हे या प्रकरणात शिकतो. करणी, छेदाचे परिमेयीकरण आणि संख्येचे केवलमूल्य यांचाही यात समावेश आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• p व q पूर्णांक असून q ≠ 0 असताना p/q रूपात लिहिता येणारी संख्या म्हणजे परिमेय संख्या.
• परिमेय संख्येचे दशांश रूप खंडित (3/8 = 0.375) किंवा अखंड आवर्ती (1/3 = 0.333…) असते.
• संक्षिप्त रूपातील p/q च्या छेदाचे मूळ अवयव फक्त 2 किंवा 5 असतील तर दशांश रूप खंडित असते.
• अखंड आवर्ती दशांश संख्या p/q रूपात लिहिता येते (Q1 पाहा).
• p/q रूपात लिहिता न येणारी संख्या म्हणजे अपरिमेय संख्या; तिचे दशांश रूप अखंड व अनावर्ती असते. उदा. √2 = 1.41421…, √3 = 1.732…, π.
• परिमेय व अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्या (R) बनतात. प्रत्येक वास्तव संख्येला संख्यारेषेवर एक बिंदू असतो व संख्यारेषेवरील प्रत्येक बिंदू एक वास्तव संख्या दाखवतो.
• कोणत्याही दोन वास्तव संख्या a, b साठी a = b, a < b किंवा a > b यांपैकी एकच विधान सत्य असते.
• कोणत्याही वास्तव संख्येचा वर्ग ऋण नसतो, म्हणून √(−5) ही वास्तव संख्या नाही.
• करणी: a ही धन परिमेय संख्या असून ⁿ√a अपरिमेय असेल तर ⁿ√a ला करणी म्हणतात; n ही करणीची कोटी व a ही करणीस्थ संख्या. √a ही द्वितीय कोटीची (वर्ग) करणी.
• करणीस्थ संख्या समान असलेल्या करणी सजातीय (2√3 व 5√3); त्यांची बेरीज-वजाबाकी करता येते.
• दोन करणींचा गुणाकार परिमेय संख्या येत असेल तर त्या एकमेकींचे परिमेयीकरण गुणक असतात. (√a + √b) व (√a − √b) या अनुबद्ध जोड्या आहेत.
• केवलमूल्य: x ≥ 0 असेल तर |x| = x व x < 0 असेल तर |x| = −x. ते शून्यापासूनचे अंतर असल्याने कधीही ऋण नसते. |−7| = 7.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• वास्तव संख्या – सर्व परिमेय व अपरिमेय संख्या.
• अपरिमेय संख्या – p/q रूपात लिहिता न येणारी संख्या.
• करणी – धन परिमेय संख्येचे अपरिमेय मूळ.
• अनुबद्ध जोडी – (√a + √b) व (√a − √b); त्यांचा गुणाकार a − b.

सूत्रे

• √a × √b = √(ab); √a ÷ √b = √(a/b)
• (√a + √b)(√a − √b) = a − b
• x ≥ 0 असताना |x| = x; x < 0 असताना |x| = −x

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 0.777… ही संख्या p/q रूपात लिहा.

समजा x = 0.777… तर 10x = 7.777…
वजाबाकी करू: 10x − x = 7, म्हणजे 9x = 7, म्हणून x = 7/9.

Q2. 7.529529… ही संख्या p/q रूपात लिहा.

समजा x = 7.529529… येथे तीन अंकांची आवर्ती आहे, म्हणून 1000x = 7529.529529…
वजाबाकी: 999x = 7522, म्हणून x = 7522/999.

Q3. 1/(√5 + √3) च्या छेदाचे परिमेयीकरण करा.

अंश व छेदाला अनुबद्ध जोडी (√5 − √3) ने गुणू:
(√5 − √3)/[(√5)² − (√3)²] = (√5 − √3)/(5 − 3) = (√5 − √3)/2.

Q4. सरळरूप द्या: 3√8 + 5√2 − √50.

3√8 = 3 × 2√2 = 6√2; √50 = 5√2.
म्हणून 6√2 + 5√2 − 5√2 = 6√2.

Q5. √2 ही अपरिमेय संख्या आहे हे सिद्ध करा.

समजा √2 = p/q (संक्षिप्त रूप). तर 2 = p²/q², म्हणजे p² = 2q², म्हणून p सम संख्या; p = 2t घेऊ. तर 4t² = 2q², म्हणजे q² = 2t², म्हणून q सुद्धा सम. p व q ला 2 हा सामाईक विभाजक येतो, हे संक्षिप्त रूपाच्या विरुद्ध आहे. म्हणून √2 अपरिमेय आहे.

परीक्षेसाठी टीप

करणींची तुलना करताना त्यांना एकाच रूपात आणा, उदा. 2√3 = √12 व 3√2 = √18, म्हणून 3√2 मोठी.

थोडक्यात सारांश

ज्या बैजिक राशीतील चलांचे घातांक पूर्ण संख्या असतात तिला बहुपदी म्हणतात. बहुपदीची कोटी व प्रकार, प्रमाणरूप, सहगुणक रूप व घातांक रूप, बहुपदींवरील क्रिया, संश्लेषक भागाकार पद्धती, बहुपदीची किंमत, शेष सिद्धांत व अवयव सिद्धांत यांचा अभ्यास या प्रकरणात आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• बहुपदीत प्रत्येक चलाचा घातांक पूर्ण संख्या असतो. म्हणून √x किंवा 1/x अशी पदे चालत नाहीत. y² + 5 ही बहुपदी आहे; y + 1/y नाही.
• एका चलातील बहुपदीची कोटी = चलाचा सर्वांत मोठा घातांक. एकापेक्षा जास्त चल असल्यास प्रत्येक पदातील घातांकांची बेरीज काढून त्यांतील सर्वांत मोठी बेरीज ही कोटी. शून्येतर स्थिर बहुपदीची (उदा. 10) कोटी 0; शून्य बहुपदीची कोटी ठरवता येत नाही.
• पदांच्या संख्येनुसार: एकपदी, द्विपदी, त्रिपदी. कोटीनुसार: रेषीय (1), वर्ग (2), घन (3) बहुपदी.
• प्रमाणरूप: पदे घातांकांच्या उतरत्या क्रमाने, उदा. x⁴ − 3x² + x + 5.
• सहगुणक रूप: फक्त सहगुणक लिहायचे; नसलेल्या घातांकासाठी 0. x³ − 3x² − 8 → (1, −3, 0, −8).
• घातांक रूप: सर्व घातांक लिहायचे, नसलेल्या पदांचा सहगुणक 0: 4y⁴ + 0y³ − 5y² + 0y + 1.
• सजातीय पदांचा विचार करून बहुपदींची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार करता येतो.
• भागाकाराचा नियम: भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी; बाकीची कोटी भाजकाच्या कोटीपेक्षा कमी असते.
• संश्लेषक भागाकार पद्धती ही (x − a) ने भागण्याची सहगुणक रूप वापरणारी छोटी पद्धत आहे.
• बहुपदीची किंमत: x = a ठेवून p(a) काढतात.
• शेष सिद्धांत: p(x) ला (x − a) ने भागल्यास बाकी p(a) येते; (x + a) ने भागल्यास बाकी p(−a).
• अवयव सिद्धांत: p(a) = 0 असेल तर (x − a) हा p(x) चा अवयव असतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• बहुपदी – चलांचे घातांक पूर्ण संख्या असलेली बैजिक राशी.
• कोटी – बहुपदीतील सर्वांत मोठा घातांक.
• सहगुणक – चलासोबत गुणलेली संख्या.
• संश्लेषक भागाकार – (x − a) ने भागाकार करण्याची संक्षिप्त पद्धत.

सूत्रे

• भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी
• p(x) ÷ (x − a) ची बाकी = p(a)
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³; (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²); a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 3m⁵ − 7m + 5m³ + 2 ची कोटी लिहा व ती प्रमाणरूपात लिहा.

प्रमाणरूप: 3m⁵ + 5m³ − 7m + 2. सर्वांत मोठा घातांक 5, म्हणून कोटी 5.

Q2. (2x² + 2) ÷ (x + 2) हा भागाकार करा व पडताळा घ्या.

2x² + 0x + 2 ला (x + 2) ने भागू: भागाकार 2x − 4, बाकी 10.
पडताळा: (x + 2)(2x − 4) + 10 = 2x² − 8 + 10 = 2x² + 2. ✓

Q3. संश्लेषक भागाकार पद्धतीने (x³ − 2x² + 3x + 4) ÷ (x − 1) करा.

सहगुणक 1, −2, 3, 4; a = 1.
1 खाली घ्या → 1 × 1 = 1, −2 + 1 = −1 → −1 × 1 = −1, 3 − 1 = 2 → 2 × 1 = 2, 4 + 2 = 6.
भागाकार = x² − x + 2, बाकी = 6.

Q4. p(x) = x³ − 3x² + 4 ला (x − 2) ने भागल्यास बाकी किती?

शेष सिद्धांतानुसार बाकी = p(2) = 8 − 12 + 4 = 0. म्हणून (x − 2) हा p(x) चा अवयव आहे.

Q5. (x − 2) हा x³ − mx² + 10x − 20 चा अवयव असेल तर m ची किंमत काढा.

अवयव सिद्धांतानुसार p(2) = 0: 8 − 4m + 20 − 20 = 0, म्हणून 8 − 4m = 0 व m = 2.

परीक्षेसाठी टीप

संश्लेषक भागाकारात नसलेल्या घातांकासाठी 0 लिहायला विसरू नका; (x + a) साठी −a वापरा.

थोडक्यात सारांश

गुणोत्तर, गुणोत्तरांचे व समान गुणोत्तरांचे गुणधर्म, समान गुणोत्तरांचा सिद्धांत, परंपरित प्रमाण आणि उदाहरणे सोडवण्याची k-पद्धती या प्रकरणात शिकतो. गुणोत्तराचा शतमानाशी संबंधही यात आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• गुणोत्तर a : b (किंवा a/b) एकाच प्रकारच्या व एकाच एककातील दोन राशींची तुलना करते; b ≠ 0.
• दोन्ही पदांना एकाच शून्येतर संख्येने गुणले किंवा भागले तरी गुणोत्तर बदलत नाही: a/b = ka/kb.
• गुणोत्तर शतमानात लिहिता येते: 3/4 = 75%.
• a/b व c/d यांची तुलना: ad > bc असेल तर a/b > c/d.
• प्रमाण: a/b = c/d असेल तर a, b, c, d प्रमाणात असतात; ad = bc (अंत्यपदांचा गुणाकार = मध्यपदांचा गुणाकार).
• समान गुणोत्तरांचे गुणधर्म (a/b = c/d असेल तर):
• व्यस्त क्रिया: b/a = d/c
• एकांतर क्रिया: a/c = b/d
• योग क्रिया: (a + b)/b = (c + d)/d
• वियोग क्रिया: (a − b)/b = (c − d)/d
• योग-वियोग क्रिया: (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d)
• समान गुणोत्तरांचा सिद्धांत: a/b = c/d = e/f असेल तर प्रत्येक गुणोत्तर = (a + c + e)/(b + d + f) = (la + mc + ne)/(lb + md + nf) (छेद शून्य नसताना).
• परंपरित प्रमाण: a/b = b/c म्हणजे b² = ac असेल तर a, b, c परंपरित प्रमाणात असतात. तेव्हा b हा a व c चा भूमितीय मध्य किंवा मध्यम प्रमाण पद.
• k-पद्धती: a/b = c/d = k घेतल्यास a = bk, c = dk; हे मांडून सिद्धता सोप्या होतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• गुणोत्तर – भागाकाराने केलेली दोन राशींची तुलना.
• प्रमाण – दोन गुणोत्तरांची समानता.
• मध्यम प्रमाण पद – a : b = b : c मधील b.

सूत्रे

• a/b = c/d ⇔ ad = bc
• परंपरित प्रमाणात b² = ac, म्हणून b = √(ac)
• योग-वियोग क्रिया: (a + b)/(a − b) = (c + d)/(c − d)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. आयताची लांबी व रुंदी यांचे गुणोत्तर 3 : 1 असून परिमिती 36 cm आहे. लांबी व रुंदी काढा.

लांबी = 3x, रुंदी = x घेऊ. 2(3x + x) = 36, म्हणून 8x = 36 व x = 4.5.
लांबी = 3 × 4.5 = 13.5 cm, रुंदी = 4.5 cm.

Q2. 4 व 25 यांचे मध्यम प्रमाण पद काढा.

b² = 4 × 25 = 100, म्हणून b = 10.

Q3. a/b = 7/3 असेल तर (5a + 3b)/(5a − 3b) ची किंमत काढा.

a = 7k, b = 3k घेऊ. (35k + 9k)/(35k − 9k) = 44k/26k = 22/13.

Q4. योग-वियोग क्रियेने सोडवा: (x + 3)/(x − 3) = 7/5.

योग-वियोग क्रिया: [(x + 3) + (x − 3)] / [(x + 3) − (x − 3)] = (7 + 5)/(7 − 5).
म्हणून 2x/6 = 12/2 = 6, म्हणजे x/3 = 6 व x = 18.
पडताळा: 21/15 = 7/5. ✓

Q5. a/b = c/d असेल तर (a + b)/(c + d) = b/d हे सिद्ध करा.

a/b = c/d = k, म्हणून a = bk, c = dk.
डावी बाजू = (bk + b)/(dk + d) = b(k + 1)/[d(k + 1)] = b/d = उजवी बाजू.

परीक्षेसाठी टीप

सिद्धतेच्या प्रश्नांत k-पद्धती जवळजवळ नेहमी उपयोगी पडते: a = bk, c = dk ठेवा व दोन्ही बाजू सरळ करा.

थोडक्यात सारांश

ax + by + c = 0 या रूपातील समीकरण म्हणजे दोन चलांतील रेषीय समीकरण. अशा दोन समीकरणांची जोडी (एकसामायिक समीकरणे) चलाचा लोप करून व एका चलाची किंमत दुसऱ्या चलाच्या रूपात ठेवून कशी सोडवायची आणि शाब्दिक उदाहरणांत त्यांचा उपयोग कसा करायचा, हे या प्रकरणात शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• दोन चलांतील रेषीय समीकरण: ax + by + c = 0; येथे a, b, c वास्तव संख्या असून a व b दोन्ही एकाच वेळी शून्य नसतात. प्रत्येक चलाचा सर्वांत मोठा घातांक 1.
• अशा एका समीकरणाला अनंत उकली असतात. दोन समीकरणे एकत्र (एकसामायिक समीकरणे) घेतल्यास सामान्यतः एकच सामाईक उकल (x, y) मिळते.
• चलाचा लोप करण्याची पद्धत: योग्य संख्येने समीकरणांना गुणून एका चलाचे सहगुणक समान करा, मग बेरीज किंवा वजाबाकी करून ते चल काढून टाका. उरलेल्या चलाची किंमत काढा व ती पुन्हा समीकरणात ठेवा.
• एका चलाची किंमत दुसऱ्या चलाच्या रूपात ठेवण्याची पद्धत: एका समीकरणातून एक चल दुसऱ्याच्या रूपात लिहा (उदा. y = 4 − x) आणि ते दुसऱ्या समीकरणात ठेवा.
• उत्तराचा पडताळा दोन्ही मूळ समीकरणांत किमती ठेवून घ्या.
• दोन समीकरणांत x व y चे सहगुणक अदलाबदल झालेले असतील (उदा. 49x + 51y = 499 व 51x + 49y = 501) तर बेरीज व वजाबाकी करून x + y व x − y लवकर मिळतात.
• शाब्दिक उदाहरणांच्या पायऱ्या: (1) अज्ञात राशींसाठी चल घ्या, (2) अटींवरून दोन समीकरणे तयार करा, (3) सोडवा, (4) उत्तर शब्दांत व एककासह लिहा.
• नेहमीची उदाहरणे: वय, दोन अंकी संख्या (संख्या = 10x + y), नोटा/नाणी, अपूर्णांक, परिमिती, वेग व वेळ.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• एकसामायिक समीकरणे – एकत्र सोडवली जाणारी दोन समीकरणे.
• उकल – दोन्ही समीकरणांचे समाधान करणारी (x, y) जोडी.
• चलाचा लोप – बेरीज किंवा वजाबाकीने एक चल काढून टाकणे.

सूत्रे

• सर्वसाधारण रूप: ax + by + c = 0
• दशकस्थानी x व एककस्थानी y असलेली दोन अंकी संख्या = 10x + y; अंकांची अदलाबदल केलेली संख्या = 10y + x

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. चलाचा लोप करून सोडवा: x + y = 4 आणि 2x + 3y = 3.

पहिल्या समीकरणाला 2 ने गुणू: 2x + 2y = 8 ... (I)
2x + 3y = 3 ... (II)
(II) − (I): y = 3 − 8 = −5. मग x = 4 − (−5) = 9.
उकल (9, −5). पडताळा: 2(9) + 3(−5) = 18 − 15 = 3 ✓.

Q2. एका चलाची किंमत दुसऱ्या चलाच्या रूपात ठेवून सोडवा: 3x − y = 7 आणि x + 4y = 11.

पहिल्या समीकरणावरून y = 3x − 7. दुसऱ्यात ठेवू: x + 4(3x − 7) = 11 ⇒ 13x − 28 = 11 ⇒ 13x = 39 ⇒ x = 3.
y = 3(3) − 7 = 2. उकल (3, 2).

Q3. सोडवा: 49x + 51y = 499 आणि 51x + 49y = 501.

बेरीज: 100x + 100y = 1000 ⇒ x + y = 10 ... (I)
वजाबाकी (दुसरे − पहिले): 2x − 2y = 2 ⇒ x − y = 1 ... (II)
(I) + (II): 2x = 11 ⇒ x = 5.5; y = 10 − 5.5 = 4.5.

Q4. दोन संख्यांची बेरीज 50 व फरक 14 आहे. त्या संख्या काढा.

x + y = 50 व x − y = 14. बेरीज: 2x = 64 ⇒ x = 32; y = 50 − 32 = 18. संख्या 32 व 18.

Q5. एक दोन अंकी संख्या तिच्या अंकांच्या बेरजेच्या 4 पट आहे. संख्येत 18 मिळवल्यास अंकांची अदलाबदल होते. ती संख्या काढा.

संख्या = 10x + y. 10x + y = 4(x + y) ⇒ 6x = 3y ⇒ y = 2x.
तसेच 10x + y + 18 = 10y + x ⇒ 9x − 9y = −18 ⇒ y − x = 2.
2x − x = 2 ⇒ x = 2, y = 4. संख्या = 24.

परीक्षेसाठी टीप

समीकरणांना (I) व (II) असे क्रमांक द्या आणि कोणत्या समीकरणाला कशाने गुणले ते स्पष्ट लिहा; प्रत्येक पायरीला गुण असतात.

थोडक्यात सारांश

उत्पन्न व खर्चाचे नियोजन, बचतीचे महत्त्व, पैसे गुंतवण्याचे विविध मार्ग (बँकेतील ठेवी, पोस्टाच्या योजना, म्युच्युअल फंड, शेअर्स) आणि भारतात आयकर कसा काढतात, हे या प्रकरणात शिकतो.

महत्त्वाचे मुद्दे

• बचत = उत्पन्न − खर्च. कुटुंबाने दरमहा काही बचत होईल असे अंदाजपत्रक करावे.
• नियोजित खर्चात विमा हप्ता, भविष्य निर्वाह निधी व आपत्कालीन गरजांसाठी ठेवलेली रक्कम येते.
• गुंतवणुकीचे मार्ग: बँकेतील बचत खाते व मुदत ठेवी, पोस्टाच्या योजना (NSC, आवर्ती ठेव, मुलींसाठी सुकन्या समृद्धी), सार्वजनिक भविष्य निर्वाह निधी (PPF), जीवन विमा, सोने, जागा, म्युच्युअल फंड व शेअर्स. बँक व पोस्टातील ठेवी जास्त सुरक्षित; शेअर्स व म्युच्युअल फंडात जास्त नफा मिळू शकतो पण धोकाही असतो.
• चक्रवाढ व्याजाने रक्कम: A = P(1 + R/100)ⁿ.
• करांचे प्रकार: करदाता थेट सरकारला भरतो तो प्रत्यक्ष कर (आयकर); वस्तू व सेवांच्या किमतीतून गोळा होतो तो अप्रत्यक्ष कर (GST).
• भारतात वित्तीय वर्ष 1 एप्रिल ते 31 मार्च असते. त्या उत्पन्नावर ज्या पुढच्या वर्षी कर आकारला जातो ते कर आकारणी वर्ष.
• कायम खाते क्रमांक (PAN) आयकर विभाग देतो; विवरणपत्र भरण्यासाठी व मोठ्या व्यवहारांसाठी तो लागतो, तसेच ओळखीचा पुरावा म्हणूनही वापरतात.
• 80C कलमान्वये PPF, विमा हप्ता, NSC, सुकन्या समृद्धी इत्यादी गुंतवणुकींवर जास्तीत जास्त ₹1,50,000 पर्यंत वजावट मिळते. 80D कलमान्वये आरोग्य विमा हप्त्यावर व 80G कलमान्वये काही देणग्यांवर सूट मिळते.
• करपात्र उत्पन्न = एकूण वार्षिक उत्पन्न − मिळणाऱ्या वजावटी.
• पाठ्यपुस्तकातील टप्पे (60 वर्षांपर्यंतच्या व्यक्ती): ₹2,50,000 पर्यंत करमुक्त; ₹2,50,001–5,00,000 – (करपात्र उत्पन्न − 2.5 लाख) वर 5%; ₹5,00,001–10,00,000 – ₹12,500 + (उत्पन्न − 5 लाख) वर 20%; ₹10,00,000 पेक्षा जास्त – ₹1,12,500 + (उत्पन्न − 10 लाख) वर 30%. ज्येष्ठ नागरिकांसाठी (60 ते 80 वर्षे) ₹3,00,000 पर्यंत करमुक्त. आयकरावर 2% शिक्षण उपकर व 1% माध्यमिक व उच्च शिक्षण उपकर.
• करांचे नियम दरवर्षी अर्थसंकल्पात बदलतात; पाठ्यपुस्तकातील टप्पे सरावासाठी आहेत.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• अंदाजपत्रक – उत्पन्न व खर्चाचे नियोजन.
• प्रत्यक्ष / अप्रत्यक्ष कर – व्यक्तीने थेट भरलेला / वस्तू व सेवांतून गोळा होणारा कर.
• करपात्र उत्पन्न – वजावटीनंतर ज्यावर कर लागतो ते उत्पन्न.
• म्युच्युअल फंड – अनेकांचे पैसे एकत्र करून शेअर्स व रोख्यांत गुंतवणारा निधी.

सूत्रे

• बचत = उत्पन्न − खर्च
• शेकडा नफा = (नफा ÷ गुंतवलेली रक्कम) × 100
• चक्रवाढ व्याज = P(1 + R/100)ⁿ − P
• एकूण कर = आयकर + 2% शिक्षण उपकर + 1% माध्यमिक व उच्च शिक्षण उपकर

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. श्री. म्हात्रे यांचे वार्षिक उत्पन्न ₹12,00,000 असून 80C नुसार गुंतवणूक ₹1,50,000 आहे. त्यांचा आयकर काढा (वय 60 पेक्षा कमी).

करपात्र उत्पन्न = 12,00,000 − 1,50,000 = ₹10,50,000.
आयकर = 1,12,500 + (10,50,000 − 10,00,000) चे 30% = 1,12,500 + 15,000 = ₹1,27,500.
शिक्षण उपकर 2% = ₹2,550; माध्यमिक व उच्च शिक्षण उपकर 1% = ₹1,275.
एकूण आयकर = 1,27,500 + 2,550 + 1,275 = ₹1,31,325.

Q2. ₹3,20,000 रक्कम 10% चक्रवाढ व्याजाने 2 वर्षांसाठी गुंतवली. चक्रवाढ व्याज काढा.

A = 3,20,000 × (1.1)² = 3,20,000 × 1.21 = ₹3,87,200.
चक्रवाढ व्याज = 3,87,200 − 3,20,000 = ₹67,200.

Q3. श्री. शहा यांनी म्युच्युअल फंडात ₹2,40,000 गुंतवले व 2 वर्षांनी त्यांना ₹3,05,000 मिळाले. शेकडा नफा काढा.

नफा = 3,05,000 − 2,40,000 = ₹65,000.
शेकडा नफा = (65,000 ÷ 2,40,000) × 100 ≈ 27.08%.

Q4. प्रत्यक्ष कर व अप्रत्यक्ष कर यांतील फरक लिहा.

प्रत्यक्ष कर (उदा. आयकर) व्यक्ती आपल्या उत्पन्नावर थेट सरकारला भरते. अप्रत्यक्ष कर (उदा. GST) वस्तू व सेवांच्या किमतीत मिळवलेला असतो व विक्रेता तो ग्राहकाकडून गोळा करून सरकारला देतो.

Q5. वित्तीय वर्ष व कर आकारणी वर्ष म्हणजे काय?

ज्या कालावधीत उत्पन्न मिळवले तो 1 एप्रिल ते 31 मार्च हा काळ म्हणजे वित्तीय वर्ष. त्या उत्पन्नावरील कर ज्या पुढील वर्षात आकारला व भरला जातो ते कर आकारणी वर्ष.

परीक्षेसाठी टीप

आयकराच्या उदाहरणात पायऱ्या क्रमाने लिहा: एकूण उत्पन्न → वजावट → करपात्र उत्पन्न → टप्प्यानुसार आयकर → उपकर → एकूण कर.

थोडक्यात सारांश

माहितीचे संकलन, मांडणी, सादरीकरण व अर्थ लावणे यांचा अभ्यास म्हणजे सांख्यिकी. विभाजित व शतमान स्तंभालेख, माहितीचे संकलन व वर्गीकरण, वारंवारता वितरण सारणी, संचित वारंवारता आणि मध्य, मध्यक व बहुलक ही केंद्रीय प्रवृत्तीची तीन परिमाणे या प्रकरणात दिली आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे

• विभाजित स्तंभालेख: प्रत्येक स्तंभ एकूण राशी दाखवतो व त्यातील घटकांनुसार त्याचे भाग केलेले असतात (उदा. एका वर्षातील गहू व ज्वारीचे उत्पादन).
• शतमान स्तंभालेख: प्रत्येक स्तंभाची उंची 100 घेऊन प्रत्येक घटकाच्या शतमानानुसार भाग पाडतात.
• अन्वेषक स्वतः गोळा करतो ती प्राथमिक सामग्री; इतरांनी आधी गोळा केलेल्या नोंदींतून (जनगणना, वृत्तपत्रे) घेतलेली ती दुय्यम सामग्री.
• सामग्रीतील प्रत्येक संख्येला प्राप्तांक म्हणतात.
• सामग्री वर्गांमध्ये मांडतात. वर्गाच्या टोकांच्या संख्या म्हणजे वर्गमर्यादा (खालची व वरची). वर्गांतर = वरची वर्गमर्यादा − खालची वर्गमर्यादा. वर्गमध्य = (खालची + वरची वर्गमर्यादा)/2.
• समावेशक पद्धती: दोन्ही वर्गमर्यादा त्याच वर्गात समाविष्ट (11–15, 16–20). असमावेशक पद्धती: वरची वर्गमर्यादा त्या वर्गात येत नाही (10–20, 20–30); 20 हा प्राप्तांक 20–30 या वर्गात येतो.
• एखाद्या वर्गातील प्राप्तांकांची संख्या म्हणजे वारंवारता; ती ताळ्याच्या खुणांनी मोजतात.
• पेक्षा कमी संचित वारंवारता: वरून वारंवारता मिळवत जातात; ती वर्गाच्या वरच्या मर्यादेपेक्षा कमी किती प्राप्तांक आहेत ते सांगते.
• पेक्षा जास्त किंवा तेवढीच संचित वारंवारता: एकूण संख्येपासून सुरुवात करून खाली वजा करत जातात; ती खालच्या मर्यादेइतके किंवा जास्त किती प्राप्तांक आहेत ते सांगते.
• मध्य = सर्व प्राप्तांकांची बेरीज ÷ प्राप्तांकांची संख्या. वारंवारता सारणीसाठी मध्य = Σfᵢxᵢ ÷ Σfᵢ.
• मध्यक = सामग्री चढत्या किंवा उतरत्या क्रमाने मांडल्यावर मधला प्राप्तांक. n सम असेल तर मधल्या दोन प्राप्तांकांची सरासरी.
• बहुलक = सर्वांत जास्त वेळा येणारा प्राप्तांक. सामग्रीला एकापेक्षा जास्त बहुलकही असू शकतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• सामग्री – संख्यांच्या रूपात गोळा केलेली माहिती.
• वारंवारता – प्राप्तांक किंवा वर्ग किती वेळा येतो ती संख्या.
• वर्गमध्य – वर्गाचे मधले मूल्य.
• मध्य / मध्यक / बहुलक – केंद्रीय प्रवृत्तीची परिमाणे.

सूत्रे

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 25, 30, 27, 23 व 25 यांचा मध्य काढा.

बेरीज = 25 + 30 + 27 + 23 + 25 = 130, n = 5. मध्य = 130/5 = 26.

Q2. 30, 25, 32, 23, 42, 36, 40, 33, 21, 43 यांचा मध्यक काढा.

चढता क्रम: 21, 23, 25, 30, 32, 33, 36, 40, 42, 43. n = 10 (सम).
मध्यक = (5 वा + 6 वा)/2 = (32 + 33)/2 = 32.5.

Q3. 90, 55, 67, 55, 75, 75, 40, 35, 55, 95 यांचा बहुलक काढा.

55 हा प्राप्तांक 3 वेळा येतो, इतर कोणताही प्राप्तांक एवढ्या वेळा येत नाही. बहुलक = 55.

Q4. 100 प्राप्तांकांचा मध्य 40 आहे. त्यांतील 30 हा प्राप्तांक चुकून 70 घेतला गेला होता असे नंतर लक्षात आले. योग्य मध्य काढा.

चुकीची बेरीज = 100 × 40 = 4000. योग्य बेरीज = 4000 − 70 + 30 = 3960.
योग्य मध्य = 3960/100 = 39.6.

Q5. 0–10, 10–20, 20–30, 30–40 या वर्गांची वारंवारता 2, 12, 20, 16 आहे. पेक्षा कमी संचित वारंवारता लिहा.

2; 2 + 12 = 14; 14 + 20 = 34; 34 + 16 = 50. म्हणजे 34 विद्यार्थ्यांना 30 पेक्षा कमी गुण आहेत.

परीक्षेसाठी टीप

मध्यक काढण्यापूर्वी सामग्री नेहमी क्रमाने मांडा; ही सर्वांत सामान्य चूक आहे.