गणित Mathematics

थोडक्यात सारांश

या प्रकरणात नैसर्गिक संख्या, पूर्ण संख्या, पूर्णांक व परिमेय संख्या यांची उजळणी आहे. परिमेय संख्या संख्यारेषेवर दाखवणे, त्यांची तुलना करणे, त्यांचे दशांश रूप लिहिणे आणि √2 ही अपरिमेय संख्या संख्यारेषेवर दाखवणे हे शिकायचे आहे. संख्यारेषेवरील सर्व संख्या वास्तव संख्या असतात.

महत्त्वाचे मुद्दे

• नैसर्गिक संख्या: 1, 2, 3, … पूर्ण संख्या: 0, 1, 2, … पूर्णांक संख्या: …, −2, −1, 0, 1, 2, …
• m/n या रूपातील संख्या, जेथे m व n पूर्णांक आहेत आणि n ≠ 0, ती परिमेय संख्या.
• कोणत्याही दोन परिमेय संख्यांमध्ये अगणित परिमेय संख्या असतात.
• 7/3 संख्यारेषेवर दाखवण्यासाठी प्रत्येक एककाचे 3 समान भाग करून 0 च्या उजवीकडे 7 भाग मोजा (7/3 = 2 + 1/3). −2/3 तेवढ्याच अंतरावर 0 च्या डावीकडे असते.
• संख्यारेषेवर डावीकडील संख्या नेहमी लहान असते.
• अंश व छेद यांना एकाच शून्येतर संख्येने गुणले तरी किंमत बदलत नाही: a/b = ka/kb.
• ऋण संख्या नेहमी धन संख्येपेक्षा लहान असते. a < b असेल तर −a > −b.
• दशांश रूप: भागाकार पूर्ण होत असेल तर खंडित दशांश (7/4 = 1.75); नाहीतर अखंड आवर्ती दशांश (7/6 = 1.1666…).
• प्रत्येक परिमेय संख्या अखंड आवर्ती दशांश रूपात लिहिता येते.
• ज्या संख्या m/n रूपात लिहिता येत नाहीत त्या अपरिमेय संख्या; त्यांचे दशांश रूप अखंड अनावर्ती असते, उदा. √2, π.
• 22/7 व 3.14 या π च्या फक्त जवळच्या परिमेय किमती आहेत.
• परिमेय व अपरिमेय संख्या मिळून वास्तव संख्या होतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• परिमेय संख्या – m/n रूपातील संख्या, n ≠ 0.
• अपरिमेय संख्या – m/n रूपात लिहिता न येणारी संख्या.
• खंडित दशांश – भागाकार पूर्ण होणारे दशांश रूप.
• आवर्ती दशांश – ज्यात एक अंक किंवा अंकगट पुन्हा पुन्हा येतो असे दशांश रूप.
• वास्तव संख्या – संख्यारेषेवर दाखवता येणाऱ्या सर्व संख्या.

सूत्रे

• b, d धन असताना: a × d < b × c तर a/b < c/d; a × d = b × c तर a/b = c/d; a × d > b × c तर a/b > c/d.
• √2 संख्यारेषेवर: 1 व 1 बाजू असलेल्या काटकोन त्रिकोणाचा कर्ण = √(1² + 1²) = √2.

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 5/4 व 2/3 यांची तुलना करा.

फुलीगुणाकार: 5 × 3 = 15 आणि 4 × 2 = 8. 15 > 8 म्हणून 5/4 > 2/3.

Q2. −7/3 व −5/2 यांची तुलना करा.

आधी 7/3 व 5/2 यांची तुलना: 7 × 2 = 14, 3 × 5 = 15, म्हणून 7/3 < 5/2. ऋण संख्यांसाठी क्रम उलटतो: −7/3 > −5/2.

Q3. 7/6 व 22/7 दशांश रूपात लिहा.

7/6 = 1.1666… (6 वर रेषा). 22/7 = 3.142857142857… (142857 वर रेषा). दोन्ही अखंड आवर्ती दशांश आहेत.

Q4. √2 संख्यारेषेवर दाखवा.

संख्यारेषेवर 1 या बिंदूला A म्हणा. A पाशी संख्यारेषेला लंब AP = 1 एकक काढा. OP जोडा. पायथागोरसच्या प्रमेयानुसार OP² = 1² + 1² = 2, म्हणून OP = √2. O केंद्र व OP त्रिज्या घेऊन संख्यारेषेला छेदणारा कंस काढा; तो बिंदू Q म्हणजे √2.

Q5. 3/5 = 6/10 आहे का ते तपासा.

3 × 10 = 30 आणि 5 × 6 = 30. गुणाकार समान, म्हणून 3/5 = 6/10.

परीक्षेसाठी टीप

ऋण संख्यांची तुलना करताना आधी धन भागांची तुलना करा आणि मग चिन्ह उलटा.

थोडक्यात सारांश

जी रेषा दोन किंवा अधिक रेषांना वेगवेगळ्या बिंदूंत छेदते तिला छेदिका म्हणतात. या प्रकरणात छेदिकेमुळे होणारे संगत कोन, व्युत्क्रम कोन व आंतरकोन, दोन रेषा समांतर असताना त्यांचे गुणधर्म आणि दोन रेषा समांतर आहेत का हे ठरवण्याच्या कसोट्या शिकायच्या आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे

• छेदिका दोन रेषांना दोन भिन्न बिंदूंत छेदते आणि 8 कोन तयार होतात.
• संगत कोन: छेदिकेवरील भुजा एकाच दिशेला व इतर भुजा छेदिकेच्या एकाच बाजूला असतात. संगत कोनांच्या 4 जोड्या असतात.
• आंतरकोन: छेदिकेच्या एकाच बाजूला, दोन रेषांच्या आतील कोनांची जोडी. आंतरकोनांच्या 2 जोड्या असतात.
• व्युत्क्रम कोन: छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूंना असलेले कोन – आंतर व्युत्क्रम कोनांच्या 2 जोड्या व बाह्य व्युत्क्रम कोनांच्या 2 जोड्या.
• दोन समांतर रेषांना छेदिकेने छेदल्यास:
• संगत कोनांची प्रत्येक जोडी एकरूप असते;
• व्युत्क्रम कोनांची प्रत्येक जोडी एकरूप असते;
• आंतरकोनांची प्रत्येक जोडी पूरक असते (बेरीज 180°).
• समांतर रेषांच्या कसोट्या: छेदिकेमुळे होणारे संगत कोन एकरूप असतील, किंवा व्युत्क्रम कोन एकरूप असतील, किंवा आंतरकोन पूरक असतील, तर त्या दोन रेषा समांतर असतात.
• परस्पर विरुद्ध कोन नेहमी समान असतात; रेषीय जोडीतील कोनांची बेरीज 180° असते.
• एकाच प्रतलातील, एकाच रेषेला लंब असलेल्या दोन रेषा परस्परांना समांतर असतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• छेदिका – दोन किंवा अधिक रेषांना भिन्न बिंदूंत छेदणारी रेषा.
• संगत कोन – दोन छेदनबिंदूंपाशी जुळत्या स्थानावरील कोन.
• व्युत्क्रम कोन – छेदिकेच्या विरुद्ध बाजूंना, दोन्ही आत किंवा दोन्ही बाहेर असलेले कोन.
• आंतरकोन – दोन रेषांच्या मधे, छेदिकेच्या एकाच बाजूचे कोन.
• पूरक कोन – बेरीज 180° असलेले दोन कोन.

सूत्रे

समांतर रेषा व छेदिका:

• संगत कोन समान
• व्युत्क्रम कोन समान
• आंतरकोन: ∠1 + ∠2 = 180°
• रेषीय जोडी: बेरीज 180°; परस्पर विरुद्ध कोन समान

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. रेषा AB ∥ रेषा CD. छेदिका CD ला N मध्ये छेदते व ∠MNQ = 70° आहे. ∠AON व ∠ONP हे आंतरकोन असतील तर ∠AON काढा.

∠ONP = ∠MNQ = 70° (परस्पर विरुद्ध कोन). आंतरकोन पूरक असतात: ∠AON + 70° = 180°, म्हणून ∠AON = 110°.

Q2. दोन समांतर रेषांच्या छेदिकेच्या एकाच बाजूचे आंतरकोन (x + 15)° व (2x + 15)° आहेत. x काढा.

आंतरकोन पूरक: x + 15 + 2x + 15 = 180 → 3x + 30 = 180 → 3x = 150 → x = 50. कोन 65° व 115°.

Q3. दोन समांतर रेषा व छेदिका यांमुळे होणाऱ्या कोनांचे गुणधर्म लिहा.

संगत कोन एकरूप असतात, व्युत्क्रम कोन एकरूप असतात आणि आंतरकोन पूरक असतात.

Q4. समांतर रेषा व छेदिका यांमुळे झालेला एक कोन 75° आहे. उरलेले सर्व कोन काढा.

चार कोन 75° (तो कोन, त्याचा परस्पर विरुद्ध, संगत व व्युत्क्रम कोन) आणि चार कोन 180° − 75° = 105°.

Q5. छेदिकेच्या साहाय्याने दोन रेषा समांतर आहेत हे कसे सिद्ध कराल?

संगत कोनांची किंवा व्युत्क्रम कोनांची एक जोडी एकरूप आहे, किंवा आंतरकोनांची एक जोडी पूरक आहे हे दाखवा.

परीक्षेसाठी टीप

प्रत्येक पायरीपुढे कंसात कारण (संगत कोन, व्युत्क्रम कोन इत्यादी) लिहा – कारणांना गुण असतात.

थोडक्यात सारांश

या प्रकरणात घातांकांच्या नियमांची उजळणी करून ते 1/n व m/n अशा परिमेय घातांकांसाठी वापरले आहेत. त्यानंतर घन व घनमूळ आणि पूर्ण घन संख्येचे घनमूळ अवयव पद्धतीने कसे काढायचे हे शिकायचे आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• 2⁵ मध्ये 2 हा पाया, 5 हा घातांक व 2⁵ हे घातांकित रूप आहे.
• घातांकांचे नियम सर्व पूर्णांक m व n साठी लागू होतात (सूत्रे पाहा).
• a^(1/n) म्हणजे a चे n वे मूळ: 25^(1/2) = √25 = 5; 64^(1/3) = ∛64 = 4.
• a^(m/n) दोन प्रकारे वाचता येते: a च्या m व्या घाताचे n वे मूळ (aᵐ)^(1/n), किंवा a च्या n व्या मुळाचा m वा घात (a^(1/n))ᵐ. दोन्हींची किंमत सारखीच.
• उदा. 8^(2/3) = (8²)^(1/3) = 64^(1/3) = 4, तसेच (8^(1/3))² = 2² = 4.
• संख्या तीन वेळा घेऊन केलेला गुणाकार म्हणजे तिचा घन: a³ = a × a × a.
• a³ = b असेल तर a हे b चे घनमूळ: ∛b = a.
• अवयव पद्धतीने घनमूळ: संख्येचे मूळ अवयव पाडा, तीन-तीन समान अवयवांचे गट करा आणि प्रत्येक गटातील एक अवयव घ्या.
• सर्व मूळ अवयवांचे तीन-तीनचे गट होत असतील तरच संख्या पूर्ण घन असते.
• ऋण संख्येचा घन ऋण असतो, म्हणून ऋण संख्येचे घनमूळ ऋण असते: ∛(−27) = −3.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• पाया – पुन्हा पुन्हा गुणली जाणारी संख्या.
• घातांक – पाया किती वेळा गुणला आहे ते दाखवणारी संख्या.
• घन – संख्या तीन वेळा घेऊन केलेला गुणाकार.
• घनमूळ – जिचा घन दिलेली संख्या येतो ती संख्या.
• पूर्ण घन – जिचे घनमूळ पूर्णांक आहे अशी संख्या.

सूत्रे

• aᵐ × aⁿ = a^(m+n)
• aᵐ ÷ aⁿ = a^(m−n)
• (a × b)ᵐ = aᵐ × bᵐ
• (a/b)ᵐ = aᵐ/bᵐ
• a⁰ = 1; a⁻ᵐ = 1/aᵐ
• (aᵐ)ⁿ = a^(mn)
• (a/b)⁻ᵐ = (b/a)ᵐ
• a^(1/n) = a चे n वे मूळ; a^(m/n) = (aᵐ)^(1/n) = (a^(1/n))ᵐ

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 1728 चे घनमूळ अवयव पद्धतीने काढा.

1728 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2 × 2) × (3 × 3 × 3). प्रत्येक गटातील एक अवयव घेऊ: ∛1728 = 2 × 2 × 3 = 12.

Q2. 81^(3/4) ची किंमत काढा.

81^(1/4) = 3 (कारण 3⁴ = 81). म्हणून 81^(3/4) = 3³ = 27.

Q3. सरळरूप द्या: 7⁵ × 7⁻³ ÷ 7².

7^(5 − 3 − 2) = 7⁰ = 1.

Q4. घातांकित रूपात लिहा: (1) 13 चे पाचवे मूळ (2) 17 चे घनमूळ.

(1) 13^(1/5) (2) 17^(1/3).

Q5. 500 ही पूर्ण घन संख्या आहे का?

500 = 2 × 2 × 5 × 5 × 5. अवयव 2 फक्त दोनदा आहे, त्याचा तिघांचा गट होत नाही; म्हणून 500 पूर्ण घन नाही.

परीक्षेसाठी टीप

a^(m/n) काढताना आधी मूळ काढा (संख्या लहान होते) आणि मग घात करा – गणित सोपे होते.

थोडक्यात सारांश

या प्रकरणात त्रिकोणातील दोन प्रकारचे रेषाखंड – शिरोलंब व मध्यगा – यांचा अभ्यास आहे. तिन्ही शिरोलंब लंबसंपात बिंदूत व तिन्ही मध्यगा मध्यगासंपात बिंदूत मिळतात. लघुकोन, काटकोन व विशालकोन त्रिकोणांत हे बिंदू कोठे असतात आणि मध्यगासंपाताचा 2 : 1 हा विशेष गुणधर्म येथे दिला आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• उजळणी: त्रिकोणाचे कोनदुभाजक अंतर्मध्यात व बाजूंचे लंबदुभाजक परिमध्यात संपात पावतात.
• त्रिकोणाच्या शिरोबिंदूपासून समोरच्या बाजूवर (किंवा ती बाजू असलेल्या रेषेवर) काढलेला लंबरेषाखंड म्हणजे शिरोलंब.
• प्रत्येक त्रिकोणाला तीन शिरोलंब असतात व ते एकसंपाती असतात. त्यांच्या संपात बिंदूला लंबसंपात बिंदू म्हणतात; तो सहसा O ने दाखवतात.
• लंबसंपात बिंदूचे स्थान: लघुकोन त्रिकोणात – त्रिकोणाच्या आत; काटकोन त्रिकोणात – काटकोन असलेल्या शिरोबिंदूवर; विशालकोन त्रिकोणात – त्रिकोणाच्या बाहेर.
• विशालकोन त्रिकोणाचे दोन शिरोलंब काढताना समोरच्या बाजू वाढवाव्या लागतात.
• शिरोबिंदू व समोरच्या बाजूचा मध्यबिंदू यांना जोडणारा रेषाखंड म्हणजे मध्यगा.
• प्रत्येक त्रिकोणाला तीन मध्यगा असतात व त्या एकसंपाती असतात. त्यांच्या संपात बिंदूला मध्यगासंपात म्हणतात; तो सहसा G ने दाखवतात.
• मध्यगासंपात नेहमी त्रिकोणाच्या आतच असतो.
• मध्यगासंपात प्रत्येक मध्यगेचे 2 : 1 या गुणोत्तरात विभाजन करतो – शिरोबिंदू ते मध्यगासंपात हा भाग, मध्यगासंपात ते मध्यबिंदू या भागाच्या दुप्पट असतो.
• समभुज त्रिकोणात एकाच शिरोबिंदूतून काढलेले शिरोलंब व मध्यगा एकच असतात, म्हणून लंबसंपात व मध्यगासंपात एकच बिंदू असतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• शिरोलंब – शिरोबिंदूतून समोरच्या बाजूवर काढलेला लंबरेषाखंड.
• लंबसंपात बिंदू – तिन्ही शिरोलंबांचा संपात बिंदू.
• मध्यगा – शिरोबिंदू व समोरच्या बाजूचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड.
• मध्यगासंपात – तिन्ही मध्यगांचा संपात बिंदू.
• एकसंपाती रेषा – एकाच बिंदूतून जाणाऱ्या तीन किंवा अधिक रेषा.

सूत्रे

• मध्यगा AD वर मध्यगासंपात G: AG : GD = 2 : 1, म्हणून AG = (2/3) AD आणि GD = (1/3) AD.

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. △ABC मध्ये G मध्यगासंपात आहे व मध्यगा AD = 9 सेमी. AG व GD काढा.

AG : GD = 2 : 1. AG = (2/3) × 9 = 6 सेमी; GD = (1/3) × 9 = 3 सेमी.

Q2. △PQR चा मध्यगासंपात G असून PM ही मध्यगा आहे. GM = 2.5 सेमी असल्यास PG व PM काढा.

PG = 2 × GM = 5 सेमी. PM = PG + GM = 5 + 2.5 = 7.5 सेमी.

Q3. लघुकोन, काटकोन व विशालकोन त्रिकोणांत लंबसंपात बिंदू कोठे असतो?

लघुकोन – त्रिकोणाच्या आत; काटकोन – काटकोनाच्या शिरोबिंदूवर; विशालकोन – त्रिकोणाच्या बाहेर.

Q4. शिरोलंब व मध्यगा यांतील फरक लिहा.

शिरोलंब शिरोबिंदूतून समोरच्या बाजूवर लंब असतो; मध्यगा शिरोबिंदूला समोरच्या बाजूच्या मध्यबिंदूशी जोडते. शिरोलंब लंबसंपात बिंदूत, तर मध्यगा मध्यगासंपातात मिळतात.

Q5. कोणत्या त्रिकोणात एकाच शिरोबिंदूतून काढलेले शिरोलंब व मध्यगा एकच असतात?

समभुज त्रिकोणात (आणि समद्विभुज त्रिकोणाच्या शीर्षबिंदूतून) शिरोलंब व मध्यगा एकच रेषाखंड असतो.

परीक्षेसाठी टीप

शिरोलंबासाठी गुण्या व मध्यबिंदूसाठी कंपास वापरा; रचनेच्या खुणा पुसू नका.

थोडक्यात सारांश

आधी शिकलेल्या सूत्रांवरून या प्रकरणात नवीन विस्तार सूत्रे तयार केली आहेत: (x + a)(x + b) हा गुणाकार, (a + b)³ व (a − b)³ हे घन आणि (a + b + c)² हा त्रिपदीचा वर्ग. या सूत्रांमुळे बैजिक राशींचे गुणाकार व काही संख्यांचे घन पटकन काढता येतात.

महत्त्वाचे मुद्दे

• आधीची सूत्रे: (a + b)² = a² + 2ab + b²; (a − b)² = a² − 2ab + b²; (a + b)(a − b) = a² − b².
• (x + a)(x + b) हा एक पद सामाईक (x) असलेल्या दोन द्विपदींचा गुणाकार आहे; तो चौरस व आयत यांच्या क्षेत्रफळांनी दाखवता येतो.
• (a + b) ला (a + b)² ने गुणून (a + b)³ मिळतो.
• (a − b)³ त्याच पद्धतीने मिळतो; चिन्हे आलटून पालटून +, −, +, − येतात.
• घनांची सूत्रे 3ab(a + b) व 3ab(a − b) वापरून थोडक्यातही लिहिता येतात.
• (a + b + c)² मध्ये सहा पदे असतात: तीन वर्ग आणि तीन दुप्पट गुणाकार.
• पूर्णांकाजवळच्या संख्यांचे घन काढण्यासाठी ही सूत्रे उपयोगी: 99³ = (100 − 1)³, 101³ = (100 + 1)³.
• गुणाकार पदांच्या बेरजेच्या रूपात लिहिणे म्हणजे विस्तार.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• द्विपदी – दोन पदे असलेली बैजिक राशी.
• त्रिपदी – तीन पदे असलेली बैजिक राशी.
• विस्तार – राशींचा गुणाकार पदांच्या बेरजेच्या रूपात लिहिणे.
• सहगुणक – चलाबरोबर गुणलेली संख्या.

सूत्रे

• (x + a)(x + b) = x² + (a + b)x + ab
• (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = a³ + b³ + 3ab(a + b)
• (a − b)³ = a³ − 3a²b + 3ab² − b³ = a³ − b³ − 3ab(a − b)
• (a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. विस्तार करा: (x + 3)(x + 7).

x² + (3 + 7)x + 3 × 7 = x² + 10x + 21.

Q2. विस्तार करा: (3x + 4y)³.

येथे a = 3x, b = 4y. (3x)³ + 3(3x)²(4y) + 3(3x)(4y)² + (4y)³ = 27x³ + 108x²y + 144xy² + 64y³.

Q3. विस्तार सूत्र वापरून 99³ काढा.

99³ = (100 − 1)³ = 100³ − 3(100)²(1) + 3(100)(1)² − 1³ = 10,00,000 − 30,000 + 300 − 1 = 9,70,299.

Q4. विस्तार करा: (2p + q − 3)².

(2p)² + q² + (−3)² + 2(2p)(q) + 2(q)(−3) + 2(2p)(−3) = 4p² + q² + 9 + 4pq − 6q − 12p.

Q5. विस्तार करा: (x − 2)³.

x³ − 3x²(2) + 3x(2)² − 2³ = x³ − 6x² + 12x − 8.

परीक्षेसाठी टीप

किंमत ठेवण्यापूर्वी a = … व b = … असे लिहा; सहगुणकाचा वर्ग किंवा घन करायला विसरणे ही सर्वांत सामान्य चूक आहे.

थोडक्यात सारांश

बैजिक राशी तिच्या अवयवांच्या गुणाकाराच्या रूपात लिहिणे म्हणजे अवयव पाडणे. या प्रकरणात मधले पद फोडून वर्ग त्रिपदीचे अवयव पाडणे, a³ + b³ व a³ − b³ यांचे अवयव पाडणे आणि अवयवांच्या साहाय्याने गुणोत्तरीय बैजिक राशींना सरळरूप देणे हे शिकायचे आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• उजळणी: सामाईक अवयव पद्धत, उदा. 4xy + 8xy² = 4xy(1 + 2y); वर्गांचा फरक, p² − 9q² = (p + 3q)(p − 3q).
• ax² + bx + c (a ≠ 0) या रूपातील राशी म्हणजे वर्ग त्रिपदी.
• ax² + bx + c चे अवयव पाडण्यासाठी अशा दोन संख्या शोधा ज्यांचा गुणाकार a × c व बेरीज b आहे. त्यांच्या साहाय्याने मधले पद फोडा आणि जोडीजोडीने सामाईक अवयव काढा.
• चिन्हे: स्थिरपद धन असेल तर दोन्ही संख्यांचे चिन्ह b च्या चिन्हासारखे; स्थिरपद ऋण असेल तर दोन संख्यांची चिन्हे विरुद्ध.
• (a + b)³ = a³ + b³ + 3ab(a + b) यावरून a³ + b³ चे अवयव मिळतात.
• (a − b)³ = a³ − b³ − 3ab(a − b) यावरून a³ − b³ चे अवयव मिळतात.
• A व B बैजिक राशी असून B ≠ 0 असेल तर A/B ही गुणोत्तरीय बैजिक राशी. अंश व छेद यांचे अवयव पाडून सामाईक अवयव रद्द केल्यावर सरळरूप मिळते.
• गुणोत्तरीय बैजिक राशींची बेरीज, वजाबाकी, गुणाकार व भागाकार अपूर्णांकांप्रमाणेच करतात.
• अवयव पाडणे ही विस्ताराची उलट क्रिया आहे.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• अवयव – दुसऱ्या राशीला पूर्ण भाग जाणारी राशी.
• वर्ग त्रिपदी – सर्वोच्च घात 2 असलेली तीन पदांची राशी ax² + bx + c.
• मधले पद फोडणे – अवयव पाडण्यासाठी bx हे दोन पदांच्या बेरजेच्या रूपात लिहिणे.
• गुणोत्तरीय बैजिक राशी – A/B रूपातील राशी, B ≠ 0.

सूत्रे

• x² + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)
• a² − b² = (a + b)(a − b)
• a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)
• a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. अवयव पाडा: x² + 5x + 6.

गुणाकार 6, बेरीज 5 → 3 व 2. x² + 3x + 2x + 6 = x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x + 2).

Q2. अवयव पाडा: 2x² − 9x + 9.

a × c = 18; गुणाकार 18 व बेरीज −9 असलेल्या संख्या −6 व −3. 2x² − 6x − 3x + 9 = 2x(x − 3) − 3(x − 3) = (x − 3)(2x − 3).

Q3. अवयव पाडा: 2x² + 5x − 18.

a × c = −36; गुणाकार −36 व बेरीज 5 असलेल्या संख्या 9 व −4. 2x² + 9x − 4x − 18 = x(2x + 9) − 2(2x + 9) = (2x + 9)(x − 2).

Q4. अवयव पाडा: 27x³ + 64y³.

= (3x)³ + (4y)³ = (3x + 4y)[(3x)² − (3x)(4y) + (4y)²] = (3x + 4y)(9x² − 12xy + 16y²).

Q5. सरळरूप द्या: (a² − 9)/(a² + 3a).

= (a + 3)(a − 3) / a(a + 3) = (a − 3)/a.

परीक्षेसाठी टीप

मिळालेले अवयव परत गुणून पाहा – काही सेकंदांत चिन्हांच्या चुका सापडतात.

थोडक्यात सारांश

एक राशी बदलली की दुसरी राशी कशी बदलते हे चलन सांगते. या प्रकरणात समचलन (दोन्ही राशी एकाच प्रमाणात वाढतात), व्यस्त चलन (एक वाढली की दुसरी कमी होते), ∝ हे चिन्ह, चलनाचा स्थिरांक आणि काळ, काम, वेग यांवरील उदाहरणे यांचा अभ्यास आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• "x व y समचलनात आहेत" म्हणजे x ∝ y, म्हणजेच x = ky; येथे k हा शून्येतर स्थिरांक – चलनाचा स्थिरांक.
• समचलनात x/y नेहमी स्थिर असते. उदा. वस्तूंची संख्या व किंमत; स्थिर वेगाने अंतर व वेळ; कामाचे दिवस व मजुरी.
• "x हा y च्या व्यस्त चलनात आहे" म्हणजे x ∝ 1/y, म्हणजेच x × y = k (स्थिर).
• व्यस्त चलनात x × y हा गुणाकार नेहमी स्थिर असतो. उदा. कामगारांची संख्या व काम पूर्ण होण्याचे दिवस; ठरावीक अंतरासाठी वेग व वेळ.
• ∝ हे चिन्ह "च्या प्रमाणात बदलते" असे वाचतात.
• उदाहरण सोडवण्याच्या पायऱ्या: (1) चलन लिहा, (2) ∝ च्या जागी k वापरून = लिहा, (3) दिलेल्या किमतींवरून k काढा, (4) k वापरून अज्ञात किंमत काढा.
• काळ, काम, वेग यांची बहुतेक उदाहरणे व्यस्त चलनाची असतात: जास्त कामगार → कमी दिवस; जास्त वेग → कमी वेळ.
• चलनाची उदाहरणे गुणोत्तर व प्रमाण वापरूनही सोडवता येतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• समचलन – दोन राशी एकाच गुणोत्तरात वाढतात किंवा कमी होतात; x/y = k.
• व्यस्त चलन – एक राशी वाढली की दुसरी कमी होते; xy = k.
• चलनाचा स्थिरांक – चलनाच्या समीकरणातील स्थिर संख्या k.

सूत्रे

• समचलन: x ∝ y ⇒ x = ky ⇒ x₁/y₁ = x₂/y₂
• व्यस्त चलन: x ∝ 1/y ⇒ xy = k ⇒ x₁y₁ = x₂y₂
• अंतर = वेग × वेळ

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. x हा y च्या समचलनात आहे. x = 5 तेव्हा y = 30. चलनाचा स्थिरांक व समीकरण लिहा.

x = ky → 5 = k × 30 → k = 1/6. समीकरण: x = y/6 (किंवा y = 6x).

Q2. a हा b च्या व्यस्त चलनात आहे. a = 10 तेव्हा b = 8. b = 20 असताना a काढा.

ab = k → k = 10 × 8 = 80. b = 20 असताना a = 80/20 = 4.

Q3. 15 कामगार एक भिंत 48 तासांत बांधतात. ती 30 तासांत बांधण्यासाठी किती कामगार लागतील?

कामगार व वेळ व्यस्त चलनात: 15 × 48 = n × 30 → n = 720/30 = 24 कामगार.

Q4. 12 वह्यांची किंमत ₹ 240 आहे. 20 वह्यांची किंमत काढा.

समचलन: किंमत/वह्या = 240/12 = 20. म्हणून 20 वह्यांची किंमत = 20 × 20 = ₹ 400.

Q5. ताशी 60 किमी वेगाने एका प्रवासाला 8 तास लागतात. ताशी 80 किमी वेगाने किती वेळ लागेल?

वेग व वेळ व्यस्त चलनात: 60 × 8 = 80 × t → t = 480/80 = 6 तास.

परीक्षेसाठी टीप

आधी ठरवा: एक राशी वाढल्यावर दुसरीही वाढते तर समचलन; दुसरी कमी होते तर व्यस्त चलन.

थोडक्यात सारांश

या प्रकरणात योग्य पाच मापे (बाजू, कोन किंवा कर्ण) दिली असता चौकोनाची रचना कशी करायची हे शिकायचे आहे. त्यानंतर विशेष चौकोन – आयत, चौरस, समभुज चौकोन, समांतरभुज चौकोन, समलंब चौकोन व पतंग – यांच्या बाजू, कोन व विशेषतः कर्णांचे गुणधर्म अभ्यासले आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे

• चौकोनाला 4 बाजू, 4 कोन व 2 कर्ण असतात. चौकोनाच्या कोनांची बेरीज 360° असते.
• 5 स्वतंत्र मापे माहीत असल्यास एकमेव चौकोन काढता येतो, उदा. 4 बाजू व 1 कर्ण; 3 बाजू व 2 कर्ण; 4 बाजू व 1 कोन; 3 बाजू व त्यांमधील 2 कोन.
• रचना करण्यापूर्वी नेहमी कच्ची आकृती काढून त्यावर दिलेली मापे दाखवा.
• आयत (काटकोन चौकोन): संमुख बाजू समान, सर्व कोन 90°; कर्ण एकरूप असून परस्परांना दुभागतात.
• चौरस: सर्व बाजू समान, सर्व कोन 90°; कर्ण समान, परस्परांचे लंबदुभाजक असतात आणि संमुख कोनांना दुभागतात.
• समभुज चौकोन: सर्व बाजू समान; संमुख कोन समान; कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात व संमुख कोनांना दुभागतात.
• समांतरभुज चौकोन: संमुख बाजूंच्या दोन्ही जोड्या समांतर व समान; संमुख कोन समान; लगतचे कोन पूरक; कर्ण परस्परांना दुभागतात.
• समलंब चौकोन: संमुख बाजूंची फक्त एकच जोडी समांतर. समांतर बाजूंमधील लगतचे कोन पूरक असतात. समद्विभुज समलंब चौकोनात असमांतर बाजू समान असतात.
• पतंग: लगतच्या बाजूंच्या दोन जोड्या समान; कर्ण परस्परांना लंब असतात आणि समान बाजू जेथे मिळतात त्या शिरोबिंदूंना जोडणारा कर्ण दुसऱ्या कर्णाला दुभागतो.
• प्रत्येक चौरस हा आयत व समभुज चौकोन असतो; प्रत्येक आयत व समभुज चौकोन हा समांतरभुज चौकोन असतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• कर्ण – चौकोनाचे संमुख शिरोबिंदू जोडणारा रेषाखंड.
• लगतच्या बाजू – एक शिरोबिंदू सामाईक असलेल्या बाजू.
• संमुख कोन – एकही बाजू सामाईक नसलेले कोन.
• दुभागणे – दोन समान भाग करणे.

सूत्रे

• चौकोनाच्या कोनांची बेरीज = 360°
• समांतरभुज चौकोन: लगतच्या कोनांची बेरीज 180°
• समभुज चौकोन/चौरस यांचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात.

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. समांतरभुज चौकोन ABCD मध्ये ∠A = 70°. ∠B, ∠C व ∠D काढा.

लगतचे कोन पूरक: ∠B = 180° − 70° = 110°. संमुख कोन समान: ∠C = 70°, ∠D = 110°.

Q2. समभुज चौकोनाचे कर्ण 24 सेमी व 10 सेमी आहेत. त्याची बाजू काढा.

कर्ण परस्परांना काटकोनात दुभागतात, म्हणून अर्धे कर्ण 12 सेमी व 5 सेमी. बाजू = √(12² + 5²) = √169 = 13 सेमी.

Q3. आयत PQRS चे कर्ण T मध्ये छेदतात. PR = 10 सेमी असल्यास QS व PT काढा.

आयताचे कर्ण समान असून परस्परांना दुभागतात: QS = 10 सेमी आणि PT = 5 सेमी.

Q4. चौरसाच्या कर्णांचे गुणधर्म लिहा.

ते समान असतात, परस्परांना दुभागतात, परस्परांना लंब असतात आणि संमुख कोनांना दुभागतात.

Q5. AB = 4.5 सेमी, BC = 5.2 सेमी, CD = 4 सेमी, AD = 3.8 सेमी व कर्ण AC = 6 सेमी असलेला चौकोन ABCD काढण्याच्या पायऱ्या लिहा.

AC = 6 सेमी काढा. A व C केंद्र घेऊन 4.5 सेमी व 5.2 सेमी त्रिज्यांचे कंस काढून एका बाजूला B ठरवा. 3.8 सेमी व 4 सेमी त्रिज्यांनी दुसऱ्या बाजूला D ठरवा. AB, BC, CD, DA जोडा.

परीक्षेसाठी टीप

सर्व विशेष चौकोनांच्या कर्णांच्या गुणधर्मांचा तुलनात्मक तक्ता पाठ करा – चूक/बरोबर व कारणे लिहा प्रश्न त्यातून येतात.

थोडक्यात सारांश

विक्री वाढवण्यासाठी दुकानदार वस्तूवरील छापील किंमत कमी करून वस्तू विकतात; ही कमी केलेली रक्कम म्हणजे सूट. विक्रेता व खरेदीदार यांना एकत्र आणणाऱ्या मध्यस्थाला मिळणारा मोबदला म्हणजे कमिशन (दलाली). या प्रकरणात सूट, विक्री किंमत, सूटीचा दर, कमिशन व रिबेट यांची आकडेमोड शिकायची आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• वस्तूच्या लेबलवर छापलेली किंमत म्हणजे छापील किंमत.
• विकताना छापील किमतीत जेवढी रक्कम कमी केली जाते ती सूट.
• विक्री किंमत = छापील किंमत − सूट.
• सूट सहसा छापील किमतीच्या शेकडा प्रमाणात दिली जाते. ₹ 100 वर 20% सूट म्हणजे वस्तू ₹ 80 ला मिळते.
• सूट दिली तरी जास्त वस्तू विकल्या गेल्याने दुकानदाराचा एकूण नफा वाढू शकतो.
• ऑनलाइन खरेदीत कंपन्या सूट व घरपोच सेवा देतात.
• विक्रेता व खरेदीदार यांना जोडणारी व्यक्ती म्हणजे मध्यस्थ किंवा दलाल (कमिशन एजंट).
• कमिशन हे विक्रीच्या किमतीच्या शेकडा प्रमाणात दिले जाते; वेगवेगळ्या वस्तूंसाठी दर वेगळे असतात. ते विक्रेत्याकडून, खरेदीदाराकडून किंवा दोघांकडूनही घेतले जाते.
• धान्य, भाजीपाला, फळे, फुले, जमीन व घरे अनेकदा दलालामार्फत विकली जातात.
• काही वस्तूंवर (उदा. खादीच्या वस्तू, विशेष प्रसंगी) दिल्या जाणाऱ्या सूटला रिबेट असेही म्हणतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• छापील किंमत – वस्तूवर छापलेली किंमत.
• सूट – छापील किमतीत दिलेली कपात.
• विक्री किंमत – ग्राहक प्रत्यक्ष देतो ती किंमत.
• कमिशन / दलाली – व्यवहार घडवून आणण्याबद्दल मध्यस्थाला मिळणारा मोबदला.
• रिबेट – एकूण खरेदीवर मिळणारी विशेष सूट.

सूत्रे

• सूट = छापील किंमत × सूटीचा दर / 100
• विक्री किंमत = छापील किंमत − सूट
• सूटीचा दर (%) = (सूट / छापील किंमत) × 100
• कमिशन = विक्रीची किंमत × कमिशनचा दर / 100
• नफा = विक्री किंमत − खरेदी किंमत

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. शर्टची छापील किंमत ₹ 800 असून 15% सूट दिली. विक्री किंमत काढा.

सूट = 800 × 15/100 = ₹ 120. विक्री किंमत = 800 − 120 = ₹ 680.

Q2. ₹ 1200 छापील किमतीचे घड्याळ ₹ 960 ला विकले. सूटीचा दर काढा.

सूट = 1200 − 960 = ₹ 240. दर = (240/1200) × 100 = 20%.

Q3. ₹ 2,50,000 किमतीच्या जमिनीच्या व्यवहारात दलालाने खरेदीदार व विक्रेता दोघांकडून 2% दलाली घेतली. त्याला एकूण किती दलाली मिळाली?

एकाकडून: 2,50,000 × 2/100 = ₹ 5000. दोघांकडून: 5000 + 5000 = ₹ 10,000.

Q4. सुधीरने ₹ 750 व ₹ 1050 च्या वस्तू घेतल्या आणि त्याला 15% रिबेट मिळाले. त्याने किती रक्कम दिली?

एकूण = ₹ 1800. रिबेट = 1800 × 15/100 = ₹ 270. दिलेली रक्कम = 1800 − 270 = ₹ 1530.

Q5. शेतकऱ्याने ₹ 6000 चा भाजीपाला 5% कमिशन घेणाऱ्या अडत्यामार्फत विकला. शेतकऱ्याला किती रक्कम मिळाली?

कमिशन = 6000 × 5/100 = ₹ 300. शेतकऱ्याला 6000 − 300 = ₹ 5700 मिळाले.

परीक्षेसाठी टीप

सूट नेहमी छापील किमतीवर काढतात, खरेदी किमतीवर नव्हे.

थोडक्यात सारांश

या प्रकरणात बहुपदी व तिची कोटी यांची ओळख करून घेऊन भागाकार शिकायचा आहे: एकपदीला एकपदीने, बहुपदीला एकपदीने आणि बहुपदीला द्विपदीने (लांब भागाकार पद्धतीने) भागणे. उत्तर भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी या रूपात लिहितात.

महत्त्वाचे मुद्दे

• एका चलातील बैजिक राशीच्या प्रत्येक पदातील चलाचा घातांक पूर्ण संख्या असेल तर ती बहुपदी, उदा. x² + 2x + 3, 3y³ + 2y² + y + 5.
• x + 1/x किंवा √x + 2 या बहुपदी नाहीत (घातांक ऋण किंवा अपूर्णांक आहे).
• बहुपदीतील चलाचा सर्वांत मोठा घातांक म्हणजे बहुपदीची कोटी, उदा. 7x³ + 5x + 4x⁵ + 2x² ची कोटी 5.
• बहुपदींची बेरीज, वजाबाकी व गुणाकार इतर बैजिक राशींप्रमाणेच करतात.
• भागाकार ही गुणाकाराची उलट क्रिया. एकपदी ÷ एकपदी: सहगुणकांना भागा व घातांक वजा करा, उदा. 15p³ ÷ 3p = 5p².
• बहुपदी ÷ एकपदी: प्रत्येक पदाला स्वतंत्रपणे भागा, उदा. (6x³ + 8x²) ÷ 2x = 3x² + 4x.
• बहुपदी ÷ द्विपदी: संख्यांसारखाच लांब भागाकार. दोन्ही उतरत्या घातांकांच्या क्रमाने लिहा (नसलेल्या घातासाठी 0 लिहा), पहिल्या पदाला भागा, गुणा, वजा करा, पुढचे पद खाली घ्या – बाकीची कोटी भाजकाच्या कोटीपेक्षा कमी होईपर्यंत.
• बाकी 0 आली तर भाजक हा भाज्याचा अवयव असतो.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• बहुपदी – प्रत्येक पदात चलाचा घातांक पूर्ण संख्या असलेली बैजिक राशी.
• कोटी – बहुपदीतील चलाचा सर्वोच्च घातांक.
• एकपदी / द्विपदी – एक पद / दोन पदे असलेली बहुपदी.
• भागाकार – भागल्यानंतर मिळणारे उत्तर.
• बाकी – भागल्यानंतर उरणारी राशी; तिची कोटी भाजकाच्या कोटीपेक्षा कमी असते.

सूत्रे

• भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी
• aᵐ ÷ aⁿ = a^(m−n)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. (15y⁴ + 10y³ − 3y²) ला 5y² ने भागा.

15y⁴ ÷ 5y² = 3y²; 10y³ ÷ 5y² = 2y; −3y² ÷ 5y² = −3/5. भागाकार = 3y² + 2y − 3/5, बाकी = 0.

Q2. (x² + 7x + 12) ला (x + 4) ने भागा.

x² ÷ x = x; x(x + 4) = x² + 4x; वजा केल्यावर 3x + 12. 3x ÷ x = 3; 3(x + 4) = 3x + 12; वजा केल्यावर 0. भागाकार = x + 3, बाकी = 0.

Q3. (2x³ − 3x + 5) ला (x − 1) ने भागा व भाज्य = भाजक × भागाकार + बाकी या रूपात लिहा.

2x³ + 0x² − 3x + 5 असे लिहा. 2x³ ÷ x = 2x²; 2x³ − 2x² वजा → 2x² − 3x. 2x² ÷ x = 2x; 2x² − 2x वजा → −x + 5. −x ÷ x = −1; −x + 1 वजा → 4. म्हणून 2x³ − 3x + 5 = (x − 1)(2x² + 2x − 1) + 4.

Q4. कोटी लिहा: (1) 3x² + 4x (2) 7x³ + 5x + 4x⁵ + 2x².

(1) 2 (2) 5.

Q5. x + 1/x ही बहुपदी आहे का? का?

नाही, कारण 1/x = x⁻¹ मधील घातांक −1 ही पूर्ण संख्या नाही.

परीक्षेसाठी टीप

लांब भागाकारापूर्वी पदे नेहमी उतरत्या घातांकांच्या क्रमाने मांडा आणि नसलेल्या घातासाठी 0 लिहा.

थोडक्यात सारांश

सांख्यिकीत संख्यात्मक माहिती गोळा करणे, ती मांडणे आणि तिच्यावरून निष्कर्ष काढणे यांचा अभ्यास होतो. या प्रकरणात सामग्रीचा अंकगणितीय मध्य, वारंवारता सारणीवरून मध्य काढणे आणि विभाजित स्तंभालेख व शतमान स्तंभालेख हे दोन नवे स्तंभालेख शिकायचे आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे

• संख्यांच्या रूपातील माहिती म्हणजे संख्यात्मक सामग्री; त्यातील प्रत्येक संख्या म्हणजे प्राप्तांक.
• सामग्रीच्या सरासरीला अंकगणितीय मध्य किंवा फक्त मध्य म्हणतात.
• मध्य = सर्व प्राप्तांकांची बेरीज ÷ प्राप्तांकांची एकूण संख्या. उदा. 60, 50, 54, 46, 50 यांचा मध्य = 260 ÷ 5 = 52.
• प्राप्तांक पुन्हा पुन्हा येत असतील तर वारंवारता सारणी तयार करा: प्राप्तांक (xᵢ), ताळ्याच्या खुणा, वारंवारता (fᵢ) व गुणाकार fᵢ × xᵢ.
• N = Σfᵢ (एकूण वारंवारता). मध्य x̄ = Σfᵢxᵢ ÷ N.
• Σ (सिग्मा) हे चिन्ह "बेरीज" दाखवते.
• विभाजित स्तंभालेखात एकूण संख्या एका स्तंभाने दाखवून त्याचे प्रत्येक घटकासाठी (उदा. प्रत्येक वर्गातील मुले व मुली) वेगवेगळ्या रंगांत भाग करतात.
• शतमान स्तंभालेखात प्रत्येक स्तंभ 100% मानून घटकांच्या शेकडेवारीनुसार त्याचे भाग करतात. प्रमाणांची तुलना करण्यासाठी तो उपयोगी असतो, उदा. दोन गावांत जगलेली झाडे.
• स्तंभालेखात स्तंभांची रुंदी व त्यांमधील अंतर सारखे ठेवतात आणि उभ्या अक्षावर योग्य प्रमाण घेतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• सामग्री – गोळा केलेली संख्यात्मक माहिती.
• अंकगणितीय मध्य – प्राप्तांकांची बेरीज भागिले प्राप्तांकांची संख्या.
• वारंवारता – एखादा प्राप्तांक किती वेळा आला ती संख्या.
• विभाजित स्तंभालेख – प्रत्येक स्तंभाचे घटकांनुसार भाग केलेला स्तंभालेख.
• शतमान स्तंभालेख – प्रत्येक स्तंभ 100% दाखवून शेकडेवारीनुसार भाग केलेला स्तंभालेख.

सूत्रे

• मध्य = (सर्व प्राप्तांकांची बेरीज) / (प्राप्तांकांची संख्या)
• मध्य x̄ = Σfᵢxᵢ / N, जेथे N = Σfᵢ
• एखाद्या भागाची शेकडेवारी = (भाग / एकूण) × 100

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 60, 50, 54, 46 व 50 यांचा मध्य काढा.

बेरीज = 260; प्राप्तांकांची संख्या = 5. मध्य = 260/5 = 52.

Q2. सारणीवरून मध्य काढा: गुण 2, 3, 4 व त्यांची वारंवारता 4, 3, 3.

Σfᵢxᵢ = 2×4 + 3×3 + 4×3 = 8 + 9 + 12 = 29. N = 10. मध्य = 29/10 = 2.9.

Q3. आर्वी येथे लावलेल्या 60 पैकी 42 झाडे व मोर्शी येथे 75 पैकी 45 झाडे जगली. जगलेल्या झाडांची शेकडेवारी काढा.

आर्वी: (42/60) × 100 = 70%. मोर्शी: (45/75) × 100 = 60%. शतमान स्तंभालेखात उरलेला भाग न जगलेली झाडे (30% व 40%) दाखवतो.

Q4. 5 संख्यांचा मध्य 18 आहे. त्यातील एक संख्या वगळली तर मध्य 16 होतो. वगळलेली संख्या काढा.

5 संख्यांची बेरीज = 5 × 18 = 90. 4 संख्यांची बेरीज = 4 × 16 = 64. वगळलेली संख्या = 90 − 64 = 26.

Q5. विभाजित स्तंभालेख केव्हा वापरतात?

प्रत्येक बाबीची एकूण संख्या आणि ती बनवणारे घटक एकत्र दाखवायचे असतात तेव्हा, उदा. वेगवेगळ्या इयत्तांतील मुले व मुली यांची संख्या.

परीक्षेसाठी टीप

शतमान स्तंभालेखात सर्व स्तंभांची उंची सारखी (100%) असते; फक्त आतील भाग बदलतात.

थोडक्यात सारांश

दोन राशी समान आहेत असे दाखवणारे विधान म्हणजे समीकरण. या प्रकरणात दोन्ही बाजूंवर एकच क्रिया करून एकचल समीकरणे सोडवणे (अपूर्णांक असलेली व दोन्ही बाजूंना चल असलेली समीकरणेसुद्धा) आणि शाब्दिक उदाहरणांचे समीकरणांत रूपांतर करून ती सोडवणे शिकायचे आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• एकचल समीकरणात एकच चल असतो व त्याचा सर्वोच्च घात 1 असतो, उदा. 3x + 5 = 20.
• ज्या किमतीमुळे दोन्ही बाजू समान होतात ती चलाची किंमत म्हणजे समीकरणाची उकल.
• नियम: दोन्ही बाजूंना एकच संख्या मिळवली, वजा केली, गुणली किंवा (शून्याशिवाय) भागली तरी समीकरण बदलत नाही.
• पायऱ्या: कंस सोडवा; छेदांच्या लसावीने दोन्ही बाजू गुणून अपूर्णांक काढून टाका; चलाची पदे एका बाजूला व संख्या दुसऱ्या बाजूला न्या (पक्षांतर करताना चिन्ह बदलते); सरळरूप देऊन सहगुणकाने भागा.
• a/b = c/d अशा समीकरणात फुलीगुणाकार करा: a × d = b × c.
• उत्तर मूळ समीकरणात ठेवून नेहमी पडताळा.
• शाब्दिक उदाहरणे: नीट वाचा, अज्ञात राशीसाठी चल घ्या, माहिती समीकरणात लिहा, सोडवा आणि एककांसह वाक्यात उत्तर लिहा.
• नेहमीची शाब्दिक उदाहरणे: वय, संख्या, क्रमागत संख्या, परिमिती, पैसे, वेग-वेळ.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• समीकरण – चल असलेले समानतेचे विधान.
• चल – अज्ञात संख्येसाठी वापरलेले अक्षर.
• उकल – समीकरण सत्य ठरवणारी चलाची किंमत.
• पक्षांतर – पद विरुद्ध चिन्हासह दुसऱ्या बाजूला नेणे.

सूत्रे

• a = b असेल तर a + c = b + c, a − c = b − c, ac = bc, a/c = b/c (c ≠ 0)
• क्रमागत संख्या: x, x + 1, x + 2; क्रमागत सम/विषम संख्या: x, x + 2, x + 4

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. सोडवा: 2(x − 3) = (3/5)(x + 4).

दोन्ही बाजूंना 5 ने गुणा: 10(x − 3) = 3(x + 4) → 10x − 30 = 3x + 12 → 7x = 42 → x = 6.

Q2. सोडवा व पडताळा: (x − 1)/(x + 2) = 2/3.

फुलीगुणाकार: 3(x − 1) = 2(x + 2) → 3x − 3 = 2x + 4 → x = 7. पडताळा: (7 − 1)/(7 + 2) = 6/9 = 2/3 ✓.

Q3. वडिलांचे वय मुलाच्या वयापेक्षा 25 वर्षांनी जास्त आहे. 10 वर्षांनंतर वडिलांचे वय मुलाच्या वयाच्या दुप्पट होईल. त्यांची आजची वये काढा.

मुलाचे वय = x, वडिलांचे = x + 25. 10 वर्षांनी: x + 35 = 2(x + 10) → x + 35 = 2x + 20 → x = 15. मुलगा 15 वर्षे, वडील 40 वर्षे.

Q4. तीन क्रमागत संख्यांची बेरीज 72 आहे. त्या संख्या काढा.

x + (x + 1) + (x + 2) = 72 → 3x + 3 = 72 → 3x = 69 → x = 23. संख्या: 23, 24, 25.

Q5. आयताची लांबी रुंदीपेक्षा 4 सेमी जास्त असून परिमिती 48 सेमी आहे. आयताच्या बाजू काढा.

रुंदी = x, लांबी = x + 4. 2(x + x + 4) = 48 → 4x + 8 = 48 → x = 10. रुंदी 10 सेमी, लांबी 14 सेमी.

परीक्षेसाठी टीप

"अज्ञात संख्या x मानू" असे स्पष्ट लिहा आणि शेवटी वाक्यात उत्तर लिहा – पूर्ण गुण मिळतात.

थोडक्यात सारांश

एक त्रिकोण दुसऱ्यावर ठेवला असता तंतोतंत जुळत असेल तर ते त्रिकोण एकरूप असतात – त्यांच्या सर्व संगत बाजू व संगत कोन समान असतात. या प्रकरणात एकरूपता सिद्ध करण्यासाठी फक्त तीन ठरावीक भाग पुरेसे असतात हे दाखवून बाकोबा, बाबाबा, कोबाको, कोकोबा (बाकोको) व कर्णभुजा या पाच कसोट्या आणि शिरोबिंदूंची योग्य एकास-एक संगती लिहिणे शिकायचे आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• एकरूप त्रिकोणांचा आकार व आकारमान सारखे असते; एकरूपतेचे चिन्ह ≅.
• △ABC ≅ △PQR असेल तर A ↔ P, B ↔ Q, C ↔ R; म्हणून AB = PQ, BC = QR, CA = RP आणि ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R.
• अक्षरांचा क्रम शिरोबिंदूंची एकास-एक संगती दाखवतो; तो अचूक लिहिला पाहिजे.
• एकमेव त्रिकोण ठरवणारे तीन ठरावीक भाग समान असतील तर ती एकरूपतेची कसोटी होते.
• बाकोबा कसोटी: दोन बाजू व त्यांमधील कोन समान.
• बाबाबा कसोटी: तिन्ही बाजू समान.
• कोबाको कसोटी: दोन कोन व त्यांमधील बाजू समान.
• कोकोबा (बाकोको) कसोटी: दोन कोन व त्यांच्यात समाविष्ट नसलेली बाजू समान (त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज 180° असल्याने तिसरा कोनही समान होतो व ही कसोटी कोबाकोवर येते).
• कर्णभुजा कसोटी: काटकोन त्रिकोणांत कर्ण व एक बाजू समान.
• कोकोको ही एकरूपतेची कसोटी नाही – कोन समान असलेले त्रिकोण लहान-मोठे असू शकतात.
• त्रिकोण एकरूप सिद्ध झाल्यावर उरलेले संगत भागही समान असतात: "एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू / संगत कोन" हे कारण लिहितात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• एकरूप त्रिकोण – एकमेकांवर ठेवल्यास तंतोतंत जुळणारे त्रिकोण.
• संगती – दोन त्रिकोणांच्या शिरोबिंदूंची जोडणी.
• समाविष्ट कोन – दिलेल्या दोन बाजूंमधील कोन.
• समाविष्ट बाजू – दिलेल्या दोन कोनांमधील बाजू.
• कर्ण – काटकोनासमोरील बाजू.

सूत्रे

एकरूपतेच्या कसोट्या: बाकोबा, बाबाबा, कोबाको, कोकोबा (बाकोको), कर्णभुजा

• त्रिकोणाच्या कोनांची बेरीज = 180°

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. △PQR व △UTS मध्ये PQ = UT, QR = TS, RP = SU. कोणत्या कसोटीने ते एकरूप आहेत?

बाबाबा कसोटीने; संगती PQR ↔ UTS, म्हणून △PQR ≅ △UTS.

Q2. △XYZ व △DEF मध्ये XZ = DF, ∠X = ∠D, ∠Z = ∠F. कसोटी व संगती लिहा.

कोबाको कसोटी; XYZ ↔ DEF; △XYZ ≅ △DEF.

Q3. कोकोको ही एकरूपतेची कसोटी का नाही?

सर्व कोन समान असलेल्या दोन त्रिकोणांच्या बाजूंची लांबी वेगवेगळी असू शकते (एक दुसऱ्याचे मोठे रूप असू शकतो), म्हणून ते एकरूप असतीलच असे नाही.

Q4. △ABC ≅ △LMN असेल तर एकरूप भागांच्या सहा जोड्या लिहा.

AB ≅ LM, BC ≅ MN, CA ≅ NL, ∠A ≅ ∠L, ∠B ≅ ∠M, ∠C ≅ ∠N.

Q5. काटकोन त्रिकोण PQR व LMN मध्ये ∠Q = ∠M = 90°, कर्ण PR = LN व PQ = LM. ते एकरूप आहेत का?

होय, कर्णभुजा कसोटीने △PQR ≅ △LMN.

परीक्षेसाठी टीप

आधी आकृतीत समान भागांवर खुणा करा; मग कोणती कसोटी लागू होते ते सहज दिसते. संगती लिहिताना अक्षरांचा क्रम तपासा.

थोडक्यात सारांश

चक्रवाढ व्याजात प्रत्येक वर्षाचे व्याज मुद्दलात मिळवले जाते आणि पुढच्या वर्षाचे व्याज या नव्या रकमेवर काढले जाते. या प्रकरणात चक्रवाढ व्याजाने रास काढण्याचे सूत्र, सहामाही चक्रवाढ आणि सूत्राचे उपयोजन – लोकसंख्येतील वाढ व यंत्रे-वाहनांचा घसारा – यांचा अभ्यास आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• सरळ व्याज दरवर्षी त्याच मुद्दलावर काढतात: I = PNR/100.
• चक्रवाढ व्याजात एका वर्षाअखेरची रास पुढच्या वर्षासाठी मुद्दल बनते; त्यामुळे व्याज दरवर्षी वाढत जाते.
• बँका मुदत ठेवी व कर्जे यांसाठी चक्रवाढ व्याज वापरतात.
• N वर्षांनंतरची रास: A = P(1 + R/100)ᴺ. चक्रवाढ व्याज = A − P.
• व्याज दर सहा महिन्यांनी चक्रवाढ होत असेल तर दर R/2 व कालावधी 2N घ्या.
• पहिल्या वर्षी सरळ व्याज व चक्रवाढ व्याज सारखेच असते; दुसऱ्या वर्षापासून चक्रवाढ व्याज जास्त होते.
• ठरावीक दराने होणारी लोकसंख्येतील वाढ काढण्यासाठी हेच सूत्र वापरतात.
• काळानुसार वाहन किंवा यंत्राची किंमत कमी होणे म्हणजे घसारा. N वर्षांनंतरची किंमत: A = P(1 − R/100)ᴺ.
• द.सा.द.शे. म्हणजे दर साल दर शेकडा.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• मुद्दल (P) – कर्जाऊ घेतलेली किंवा ठेवलेली रक्कम.
• दर (R) – एका वर्षासाठी ₹ 100 वरील व्याज.
• रास (A) – मुद्दल + व्याज.
• चक्रवाढ व्याज – मुद्दल व आधीचे व्याज यांच्या एकत्रित रकमेवर काढलेले व्याज.
• घसारा – काळानुसार वस्तूच्या किमतीत होणारी घट.

सूत्रे

• सरळ व्याज I = PNR/100
• A = P(1 + R/100)ᴺ
• चक्रवाढ व्याज = A − P
• सहामाही: A = P(1 + R/200)²ᴺ
• N वर्षांनंतरची लोकसंख्या = P(1 + R/100)ᴺ
• घसारा: A = P(1 − R/100)ᴺ

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. ₹ 10,000 चे द.सा.द.शे. 10 दराने 2 वर्षांचे चक्रवाढ व्याज काढा.

A = 10,000 × (1 + 10/100)² = 10,000 × 1.1 × 1.1 = ₹ 12,100. चक्रवाढ व्याज = 12,100 − 10,000 = ₹ 2,100.

Q2. ₹ 8,000 ची द.सा.द.शे. 5 दराने 3 वर्षांनी चक्रवाढ व्याजाने होणारी रास काढा.

A = 8000 × (21/20)³ = 8000 × 9261/8000 = ₹ 9,261.

Q3. ₹ 50,000 किमतीच्या यंत्राचा दरवर्षी 10% घसारा होतो. 2 वर्षांनी त्याची किंमत किती?

A = 50,000 × (1 − 10/100)² = 50,000 × 0.9 × 0.9 = ₹ 40,500.

Q4. एका गावाची लोकसंख्या 16,000 असून ती दरवर्षी 5% ने वाढते. 2 वर्षांनी लोकसंख्या किती होईल?

16,000 × (1.05)² = 16,000 × 1.1025 = 17,640.

Q5. ₹ 5,000 वर द.सा.द.शे. 8 दराने 2 वर्षांचे सरळ व्याज व चक्रवाढ व्याज यांतील फरक काढा.

सरळ व्याज = 5000 × 2 × 8/100 = ₹ 800. A = 5000 × (1.08)² = ₹ 5,832, म्हणून चक्रवाढ व्याज = ₹ 832. फरक = ₹ 32.

परीक्षेसाठी टीप

(1 + R/100) हे 21/20 सारख्या सोप्या अपूर्णांकात लिहा – गुणाकार खूप सोपा होतो.

थोडक्यात सारांश

या प्रकरणात समांतरभुज चौकोन, समभुज चौकोन व समलंब चौकोन यांच्या क्षेत्रफळांची सूत्रे, फक्त तीन बाजू माहीत असताना त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे हिरोचे सूत्र आणि अनियमित आकाराच्या जमिनीचे त्रिकोण व समलंब चौकोनांत विभाजन करून क्षेत्रफळ काढणे शिकायचे आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• समांतरभुज चौकोन कापून त्याच पाया व उंचीचा आयत बनवता येतो, म्हणून त्याचे क्षेत्रफळ = पाया × उंची.
• समभुज चौकोनाचे कर्ण परस्परांचे लंबदुभाजक असतात, त्यामुळे तो 4 एकरूप काटकोन त्रिकोणांत विभागला जातो. क्षेत्रफळ = ½ × कर्णांचा गुणाकार.
• समलंब चौकोनाचे क्षेत्रफळ = ½ × (समांतर बाजूंची बेरीज) × उंची; येथे उंची म्हणजे समांतर बाजूंमधील लंबअंतर.
• त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ = ½ × पाया × उंची.
• उंची माहीत नसून तिन्ही बाजू a, b, c माहीत असतील तर अर्धपरिमिती s = (a + b + c)/2 घेऊन हिरोचे सूत्र वापरतात.
• अनियमित शेत किंवा भूखंडाचे त्रिकोण, आयत व समलंब चौकोन असे भाग करून प्रत्येकाचे क्षेत्रफळ काढून बेरीज करतात.
• पायथागोरसच्या प्रमेयाने हरवलेली बाजू किंवा कर्ण काढता येतो (उदा. कर्णांवरून समभुज चौकोनाची बाजू).
• क्षेत्रफळ चौरस एककांत (चौसेमी, चौमी) मोजतात; जमीन आर व हेक्टरमध्येही मोजतात (1 आर = 100 चौमी, 1 हेक्टर = 10,000 चौमी).

महत्त्वाच्या संज्ञा

• समांतरभुज/समलंब चौकोनाची उंची – समांतर बाजूंमधील लंबअंतर.
• अर्धपरिमिती – त्रिकोणाच्या परिमितीचा निम्मा भाग.
• हिरोचे सूत्र – तीन बाजूंवरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढण्याचे सूत्र.

सूत्रे

• समांतरभुज चौकोन = पाया × उंची
• समभुज चौकोन = ½ × d₁ × d₂ (d₁, d₂ = कर्ण)
• समलंब चौकोन = ½ × (a + b) × h (a, b = समांतर बाजू, h = उंची)
• त्रिकोण = ½ × पाया × उंची
• हिरोचे सूत्र: s = (a + b + c)/2; क्षेत्रफळ = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. समभुज चौकोनाचे कर्ण 11.2 सेमी व 7.5 सेमी आहेत. क्षेत्रफळ काढा.

क्षेत्रफळ = ½ × 11.2 × 7.5 = 5.6 × 7.5 = 42 चौसेमी.

Q2. समभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ 96 चौसेमी व एक कर्ण 12 सेमी आहे. दुसरा कर्ण व बाजू काढा.

96 = ½ × 12 × d₂ → d₂ = 16 सेमी. अर्धे कर्ण 6 व 8, म्हणून बाजू = √(6² + 8²) = √100 = 10 सेमी.

Q3. समलंब चौकोनाच्या समांतर बाजू 7 सेमी व 8 सेमी असून त्यांमधील अंतर 6 सेमी आहे. क्षेत्रफळ काढा.

क्षेत्रफळ = ½ × (7 + 8) × 6 = 45 चौसेमी.

Q4. 17 सेमी, 25 सेमी व 26 सेमी बाजू असलेल्या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढा.

s = (17 + 25 + 26)/2 = 34. क्षेत्रफळ = √(34 × 17 × 9 × 8) = √41,616 = 204 चौसेमी.

Q5. पाया 12 सेमी व उंची 7 सेमी असलेल्या समांतरभुज चौकोनाचे क्षेत्रफळ काढा.

क्षेत्रफळ = पाया × उंची = 12 × 7 = 84 चौसेमी.

परीक्षेसाठी टीप

हिरोच्या सूत्रात मुळाखालील गुणाकाराचे मूळ अवयव पाडून जोड्या करा – मोठे गुणाकार टळतात.

थोडक्यात सारांश

या प्रकरणात इष्टिकाचिती, घन व वृत्तचिती या त्रिमितीय आकृत्यांचा अभ्यास आहे. घनाकृतीने व्यापलेली जागा म्हणजे घनफळ आणि तिच्या सर्व पृष्ठभागांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज म्हणजे एकूण पृष्ठफळ. यांची सूत्रे मिळवून टाक्या, खोकी यांसारख्या व्यावहारिक उदाहरणांत वापरली आहेत.

महत्त्वाचे मुद्दे

• इष्टिकाचिती, घन व वृत्तचिती यांना तीन मिती असतात व त्या जागा व्यापतात.
• घनाकृतीने व्यापलेल्या जागेचे माप म्हणजे घनफळ. एकक घसेमी, घमी. धारकता लीटरमध्ये मोजतात: 1 लीटर = 1000 घसेमी; 1 घमी = 1000 लीटर.
• इष्टिकाचितीला 6 आयताकार पृष्ठे असतात; घनाला 6 एकरूप चौरस पृष्ठे असतात.
• इष्टिकाचितीचे एकूण पृष्ठफळ = 2(lb + bh + lh); घनफळ = l × b × h.
• घनाचे एकूण पृष्ठफळ = 6l²; घनफळ = l³.
• वृत्तचितीचा वक्रपृष्ठभाग उलगडल्यास आयत मिळतो; त्याची लांबी तळाचा परीघ (2πr) व रुंदी उंची h असते. म्हणून वक्रपृष्ठफळ = 2πrh.
• बंद वृत्तचितीचे एकूण पृष्ठफळ = वक्रपृष्ठफळ + दोन वर्तुळाकार तळ = 2πr(h + r).
• सर्वसाधारण सूत्र: वृत्तचितीचे (किंवा इष्टिकाचितीचे) घनफळ = तळाचे क्षेत्रफळ × उंची. वृत्तचितीचे घनफळ = πr²h.
• सांगितल्याप्रमाणे π = 22/7 किंवा 3.14 घ्या.
• आकृती बनवण्यासाठी किंवा झाकण्यासाठी किती साहित्य लागेल हे पृष्ठफळ सांगते; तिच्यात किती मावेल हे घनफळ सांगते.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• घनफळ – घनाकृतीने व्यापलेली जागा.
• एकूण पृष्ठफळ – घनाकृतीच्या सर्व पृष्ठभागांच्या क्षेत्रफळांची बेरीज.
• वक्रपृष्ठफळ – वृत्तचितीच्या वक्र भागाचे क्षेत्रफळ.
• धारकता – भांड्यात मावणाऱ्या द्रवाचे प्रमाण.

सूत्रे

• इष्टिकाचिती: एकूण पृष्ठफळ = 2(lb + bh + lh); घनफळ = lbh
• घन: एकूण पृष्ठफळ = 6l²; घनफळ = l³
• वृत्तचिती: वक्रपृष्ठफळ = 2πrh; एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r + h); घनफळ = πr²h
• 1 लीटर = 1000 घसेमी; 1 घमी = 1000 लीटर

(l = लांबी, b = रुंदी, h = उंची, r = तळाची त्रिज्या)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. 20 सेमी × 12 सेमी × 10 सेमी मापाच्या खोक्याचे एकूण पृष्ठफळ व घनफळ काढा.

एकूण पृष्ठफळ = 2(20×12 + 12×10 + 20×10) = 2(240 + 120 + 200) = 1120 चौसेमी. घनफळ = 20 × 12 × 10 = 2400 घसेमी.

Q2. 8 सेमी बाजूच्या घनाचे एकूण पृष्ठफळ काढा.

एकूण पृष्ठफळ = 6 × 8² = 6 × 64 = 384 चौसेमी.

Q3. वृत्तचितीची त्रिज्या 7 सेमी व उंची 10 सेमी आहे. वक्रपृष्ठफळ व एकूण पृष्ठफळ काढा.

वक्रपृष्ठफळ = 2 × 22/7 × 7 × 10 = 440 चौसेमी. एकूण पृष्ठफळ = 2 × 22/7 × 7 × (10 + 7) = 44 × 17 = 748 चौसेमी.

Q4. वृत्तचितीच्या आकाराच्या टाकीची त्रिज्या 1.4 मी व उंची 2 मी आहे. तिच्यात किती लीटर पाणी मावेल?

घनफळ = 22/7 × 1.4 × 1.4 × 2 = 12.32 घमी = 12.32 × 1000 = 12,320 लीटर.

Q5. घनाचे घनफळ 1331 घसेमी आहे. त्याची बाजू काढा.

l³ = 1331 → l = ∛1331 = 11 सेमी.

परीक्षेसाठी टीप

सूत्र वापरण्यापूर्वी सर्व मापे एकाच एककात आणा आणि घमीचे लीटरमध्ये रूपांतर शेवटी करा.

थोडक्यात सारांश

या प्रकरणात वर्तुळाची जीवा व कंस यांचा अभ्यास आहे. वर्तुळकेंद्रातून जीवेवर काढलेला लंब जीवेला दुभागतो आणि केंद्र व जीवेचा मध्यबिंदू जोडणारा रेषाखंड जीवेला लंब असतो, हे दोन महत्त्वाचे गुणधर्म सिद्ध केले आहेत. जीवेमुळे होणारे लघुकंस व विशालकंस आणि एकरूप कंस यांचीही ओळख करून दिली आहे.

महत्त्वाचे मुद्दे

• वर्तुळावरील कोणतेही दोन बिंदू जोडणारा रेषाखंड म्हणजे जीवा. केंद्रातून जाणारी जीवा म्हणजे व्यास – ती सर्वांत मोठी जीवा असते.
• त्रिज्या = ½ व्यास.
• गुणधर्म 1: वर्तुळकेंद्रातून जीवेवर काढलेला लंब जीवेला दुभागतो. (OP ⊥ जीवा AB तर AP = PB.)
• गुणधर्म 2 (व्यत्यास): वर्तुळकेंद्र व जीवेचा मध्यबिंदू यांना जोडणारा रेषाखंड जीवेला लंब असतो.
• हे दोन्ही गुणधर्म एकरूप त्रिकोणांच्या साहाय्याने (कर्णभुजा व बाबाबा कसोट्या) सिद्ध करतात.
• केंद्रापासून जीवेचे अंतर म्हणजे केंद्रातून जीवेवर काढलेल्या लंबाची लांबी.
• पायथागोरसच्या प्रमेयाने त्रिज्या r, अर्धी जीवा व अंतर d यांचा संबंध मिळतो: r² = d² + (अर्धी जीवा)².
• जीवेमुळे वर्तुळाचे दोन कंस होतात: लहान तो लघुकंस, मोठा तो विशालकंस. व्यासामुळे दोन अर्धवर्तुळे होतात.
• एकाच वर्तुळातील दोन कंसांची मापे समान असतील तर ते कंस एकरूप असतात.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• जीवा – दोन्ही टोके वर्तुळावर असलेला रेषाखंड.
• व्यास – केंद्रातून जाणारी जीवा.
• कंस – वर्तुळावरील दोन बिंदूंमधील वर्तुळाचा भाग.
• लघुकंस / विशालकंस – जीवेमुळे तयार होणारा लहान / मोठा कंस.
• अर्धवर्तुळ – व्यासामुळे तयार होणारा वर्तुळाचा निम्मा भाग.

सूत्रे

• r² = d² + (l/2)², जेथे l = जीवेची लांबी, d = केंद्रापासून जीवेचे अंतर, r = त्रिज्या
• जीवेची लांबी = 2 × √(r² − d²)

५ महत्त्वाचे प्रश्न

Q1. वर्तुळाची त्रिज्या 10 सेमी असून एक जीवा केंद्रापासून 6 सेमी अंतरावर आहे. जीवेची लांबी काढा.

अर्धी जीवा = √(10² − 6²) = √(100 − 36) = √64 = 8 सेमी. जीवा = 2 × 8 = 16 सेमी.

Q2. 13 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळात 24 सेमी लांबीची जीवा आहे. केंद्रापासून तिचे अंतर काढा.

अर्धी जीवा = 12 सेमी. d = √(13² − 12²) = √(169 − 144) = √25 = 5 सेमी.

Q3. सिद्ध करा: वर्तुळकेंद्रातून जीवेवर काढलेला लंब जीवेला दुभागतो.

OP ⊥ जीवा AB. काटकोन △OPA व △OPB मध्ये OA = OB (त्रिज्या) आणि OP सामाईक बाजू. कर्णभुजा कसोटीने △OPA ≅ △OPB, म्हणून AP = BP (एकरूप त्रिकोणांच्या संगत बाजू). म्हणजे OP जीवा AB ला दुभागतो.

Q4. वर्तुळाचा व्यास 26 सेमी व एका जीवेची लांबी 10 सेमी आहे. केंद्रापासून जीवेचे अंतर काढा.

r = 13 सेमी, अर्धी जीवा = 5 सेमी. d = √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 सेमी.

Q5. लघुकंस व विशालकंस म्हणजे काय?

जीवा वर्तुळाचे दोन कंसांत विभाजन करते; त्यांपैकी लहान कंस म्हणजे लघुकंस आणि मोठा कंस म्हणजे विशालकंस.

परीक्षेसाठी टीप

जीवेच्या टोकापर्यंत त्रिज्या काढून काटकोन त्रिकोण तयार करा आणि मग पायथागोरसचे प्रमेय वापरा.