गणित भाग 2 (भूमिती) Mathematics Part 2 (Geometry)

थोडक्यात सारांश

समरूप आकृत्यांचा आकार सारखा असतो, पण माप वेगळे असू शकते. त्रिकोणांच्या क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर, प्रमाणाचे मूलभूत प्रमेय, समरूपतेच्या कसोट्या आणि समरूप त्रिकोणांची क्षेत्रफळे हे या प्रकरणात आहे.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• समरूप त्रिकोण – संगत कोन एकरूप आणि संगत बाजू एकाच प्रमाणात असलेले त्रिकोण.
• प्रमाणाचे मूलभूत प्रमेय – त्रिकोणाच्या एका बाजूला समांतर रेषा उरलेल्या दोन बाजूंना एकाच प्रमाणात विभागते.
• कोनदुभाजकाचे प्रमेय – कोनदुभाजक समोरील बाजूला उरलेल्या दोन बाजूंच्या गुणोत्तरात विभागतो.

सूत्रे

• समान उंची: A(△1)/A(△2) = पाया1/पाया2
• समान पाया: A(△1)/A(△2) = उंची1/उंची2
• △ABC मध्ये DE ∥ BC असेल तर AD/DB = AE/EC
• AD हा ∠A चा दुभाजक असेल तर BD/DC = AB/AC
• समरूप त्रिकोण: A(△ABC)/A(△PQR) = AB²/PQ² = BC²/QR²

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. △ABC मध्ये DE ∥ BC, AD = 6, DB = 9, AE = 8. तर EC काढा.

AD/DB = AE/EC → 6/9 = 8/EC → EC = (8 × 9)/6
EC = 12

उदाहरण 2. △ABC ~ △PQR, A(△ABC) = 81, A(△PQR) = 121, BC = 6.3. तर QR काढा.

81/121 = BC²/QR² → 9/11 = 6.3/QR
QR = 7.7

झटपट उजळणी

• समरूपतेच्या कसोट्या: कोकोको (कोको), बाकोबा, बाबाबा.
• प्रमाणाच्या मूलभूत प्रमेयाचा व्यत्यास: दोन बाजू एकाच प्रमाणात विभागणारी रेषा तिसऱ्या बाजूला समांतर असते.
• तीन समांतर रेषा दोन छेदिकांवर समान प्रमाणात आंतरखंड करतात.
• क्षेत्रफळांचे गुणोत्तर = बाजूंच्या गुणोत्तराचा वर्ग.

परीक्षेसाठी टीप

आधी संगती (ABC ↔ PQR) नीट लिहा; मग गुणोत्तरे लिहा.

थोडक्यात सारांश

काटकोन त्रिकोणाचे प्रकरण: पायथागोरसचे प्रमेय, त्याचा व्यत्यास, पायथागोरसचे त्रिकूट, भूमितीमध्याचे प्रमेय आणि अपोलोनियसचे प्रमेय.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• कर्ण – काटकोनासमोरील बाजू; सर्वांत मोठी बाजू.
• पायथागोरसचे त्रिकूट – a² + b² = c² असणाऱ्या तीन नैसर्गिक संख्या, उदा. (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17).
• भूमितीमध्य – x² = ab असेल तर x हा a व b चा भूमितीमध्य.

सूत्रे

• △ABC मध्ये ∠B = 90° असेल तर AC² = AB² + BC²
• त्रिकूटाचे सूत्र: (a² + b², a² − b², 2ab), a > b
• ∠B = 90°, BD ⊥ AC → BD² = AD × DC
• 30°–60°–90° त्रिकोण: बाजू 1 : √3 : 2
• 45°–45°–90° त्रिकोण: बाजू 1 : 1 : √2
• अपोलोनियस: M हा BC चा मध्यबिंदू असेल तर AB² + AC² = 2AM² + 2BM²

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. काटकोन त्रिकोणाच्या बाजू 9 सेमी व 40 सेमी आहेत. कर्ण काढा.

कर्ण² = 81 + 1600 = 1681
कर्ण = 41 सेमी

उदाहरण 2. △ABC मध्ये M हा BC चा मध्यबिंदू, AB² + AC² = 290, AM = 8. तर BC काढा.

290 = 2(8)² + 2BM² → 290 = 128 + 2BM² → BM² = 81 → BM = 9
BC = 18

झटपट उजळणी

• व्यत्यास: a² + b² = c² असेल तर त्रिकोण काटकोन त्रिकोण असतो.
• 30° समोरील बाजू = कर्णाच्या निम्मी.
• 45°–45°–90° त्रिकोणात प्रत्येक समान बाजू = कर्ण/√2.
• a बाजूच्या चौरसाचा कर्ण = a√2.

परीक्षेसाठी टीप

लहान आकृती काढून काटकोन आधी दाखवा; मग कर्ण चुकत नाही.

थोडक्यात सारांश

स्पर्शिका, स्पर्श करणारी वर्तुळे, कंस व त्यांनी केलेले कोन, चक्रीय चौकोन आणि जीवा-छेदिकांची प्रमेये.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• स्पर्शिका – वर्तुळाला फक्त एका बिंदूत स्पर्श करणारी रेषा.
• छेदिका – वर्तुळाला दोन बिंदूंत छेदणारी रेषा.
• अंतर्लिखित कोन – ज्याचा शिरोबिंदू वर्तुळावर आहे असा कोन.
• चक्रीय चौकोन – चारही शिरोबिंदू वर्तुळावर असलेला चौकोन.

सूत्रे

• स्पर्शिका ⊥ त्रिज्या (स्पर्शबिंदूत).
• बाह्य बिंदूपासूनचे स्पर्शिकाखंड समान: PA = PB.
• स्पर्श करणारी वर्तुळे: केंद्रांतील अंतर = r₁ + r₂ (बाह्यस्पर्श) किंवा r₁ − r₂ (अंतर्स्पर्श).
• अंतर्लिखित कोन = ½ × आंतरखंडित कंसाचे माप.
• अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित कोन = 90°.
• चक्रीय चौकोनाचे संमुख कोन पूरक (बेरीज 180°).
• जीवा AB व CD बिंदू E मध्ये छेदतात: AE × EB = CE × ED.
• स्पर्शिका PT व छेदिका: PA × PB = PT².

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. त्रिज्या 5 सेमी, केंद्रापासून P चे अंतर 13 सेमी. स्पर्शिकाखंडाची लांबी काढा.

स्पर्शिका² = 13² − 5² = 144
स्पर्शिकाखंड = 12 सेमी

उदाहरण 2. जीवा AB व CD बिंदू E मध्ये छेदतात. AE = 4, EB = 6, CE = 3. तर ED काढा.

4 × 6 = 3 × ED
ED = 8

झटपट उजळणी

• एकाच कंसात अंतर्लिखित कोन एकरूप असतात.
• चक्रीय चौकोनाचा बाह्यकोन = आंतरसंमुख कोन.
• अर्धवर्तुळ कंस = 180°; पूर्ण वर्तुळ = 360°.

परीक्षेसाठी टीप

प्रत्येक पायरीला वापरलेल्या प्रमेयाचे नाव लिहा; भूमितीत कारणांना गुण असतात.

थोडक्यात सारांश

दिलेल्या त्रिकोणाशी समरूप त्रिकोण काढणे, आणि वर्तुळाला स्पर्शिका काढणे — वर्तुळावरील बिंदूतून व बाह्य बिंदूतून.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• प्रमाण – नव्या त्रिकोणाच्या बाजू : दिलेल्या त्रिकोणाच्या बाजू, उदा. 3 : 4.
• स्पर्शिका – स्पर्शबिंदूत त्रिज्येला लंब असलेली रेषा.

सूत्रे

• बाह्य बिंदू P पासून स्पर्शिकाखंड = √(OP² − r²)
• अर्धवर्तुळात अंतर्लिखित कोन = 90° (म्हणून मध्यबिंदू पद्धत चालते)

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. △LMN ~ △ABC काढा, AB : LM = 3 : 4 (पायऱ्या)

1. △LMN काढा.
2. M पासून MN खाली लघुकोन करणारा किरण काढा; त्यावर M₁, M₂, M₃, M₄ असे 4 समान भाग करा.
3. M₄ व N जोडा.
4. M₃ मधून M₄N ला समांतर रेषा काढा; ती MN ला C मध्ये छेदते.
5. C मधून NL ला समांतर रेषा काढा; ती ML ला A मध्ये छेदते.

△ABC हा अपेक्षित त्रिकोण (B म्हणजेच M).

उदाहरण 2. 3 सेमी त्रिज्येच्या वर्तुळाला, OP = 7 सेमी असलेल्या P मधून स्पर्शिका काढा (पायऱ्या)

1. O केंद्र, 3 सेमी त्रिज्येचे वर्तुळ काढा; OP = 7 सेमी घ्या.
2. OP चा मध्यबिंदू M काढा (लंबदुभाजक).
3. M केंद्र, MO त्रिज्येचा कंस काढा; तो वर्तुळाला A व B मध्ये छेदतो.
4. PA व PB जोडा.

PA व PB या स्पर्शिका; प्रत्येकी √40 ≈ 6.3 सेमी.

झटपट उजळणी

• वर्तुळावरील बिंदू A मधून स्पर्शिका: OA त्रिज्या काढा, A मधून OA ला लंब रेषा काढा.
• केंद्र दिले नसल्यास: स्पर्शिका-छेदिका कोनाचे प्रमेय वापरा.
• रचनेच्या खुणा (कंस) पुसू नका.

परीक्षेसाठी टीप

टोकदार पेन्सिल व कंपास वापरा. नीट कंस आणि नावे यांनाच पूर्ण गुण मिळतात.

थोडक्यात सारांश

बिंदू (x, y) वापरून अंतर, रेषाखंड विभागणारा बिंदू आणि रेषेचा चढ काढणे.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• अंतराचे सूत्र – दोन बिंदूंतील अंतर.
• विभाजनाचे सूत्र – रेषाखंडाला m : n गुणोत्तरात विभागणाऱ्या बिंदूचे निर्देशक.
• रेषेचा चढ (m) – m = tan θ.
• एकरेषीय बिंदू – एकाच रेषेवरील बिंदू.

सूत्रे

• अंतर: d(A, B) = √[(x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²]
• आंतर्विभाजन (m : n): ( (mx₂ + nx₁)/(m + n), (my₂ + ny₁)/(m + n) )
• बाह्यविभाजन (m : n): ( (mx₂ − nx₁)/(m − n), (my₂ − ny₁)/(m − n) )
• मध्यबिंदू: ( (x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2 )
• मध्यगासंपात: ( (x₁ + x₂ + x₃)/3, (y₁ + y₂ + y₃)/3 )
• चढ: m = (y₂ − y₁)/(x₂ − x₁)

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. A(3, 8) व B(−9, 3) मधील अंतर काढा.

d = √[(−12)² + (−5)²] = √(144 + 25) = √169
d(A, B) = 13

उदाहरण 2. A(−3, 5) व B(4, −9) ला 2 : 5 गुणोत्तरात आंतर्विभागणारा बिंदू काढा.

x = (8 − 15)/7 = −1, y = (−18 + 25)/7 = 1
बिंदू = (−1, 1)

झटपट उजळणी

• समांतर रेषांचे चढ समान.
• X-अक्षाचा चढ 0; Y-अक्षाचा चढ ठरवता येत नाही.
• AB चा चढ = BC चा चढ असेल तर A, B, C एकरेषीय.
• आरंभबिंदूपासून (x, y) चे अंतर = √(x² + y²).

परीक्षेसाठी टीप

सूत्र वापरण्याआधी (x₁, y₁), (x₂, y₂) बिंदूंवर लिहा; चिन्हांच्या चुका टळतात.

थोडक्यात सारांश

काटकोन त्रिकोणाचे कोन व बाजू यांचा संबंध. या प्रकरणात त्रिकोणमितीय नित्यसमानता आणि उंची व अंतर (उन्नत कोन, अवनत कोन) आहेत.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• उन्नत कोन – वर पाहताना क्षितिजसमांतर रेषा व दृष्टिरेषा यांतील कोन.
• अवनत कोन – खाली पाहताना क्षितिजसमांतर रेषा व दृष्टिरेषा यांतील कोन.
• दृष्टिरेषा – डोळ्यापासून वस्तूपर्यंतची रेषा.

सूत्रे

• sin θ = समोरील बाजू/कर्ण, cos θ = लगतची बाजू/कर्ण, tan θ = समोरील/लगतची बाजू
• cosec θ = 1/sin θ, sec θ = 1/cos θ, cot θ = 1/tan θ
• sin²θ + cos²θ = 1
• 1 + tan²θ = sec²θ
• 1 + cot²θ = cosec²θ
• tan 30° = 1/√3, tan 45° = 1, tan 60° = √3

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. sin θ = 7/25 तर cos θ व tan θ काढा.

cos²θ = 1 − 49/625 = 576/625
cos θ = 24/25, tan θ = 7/24

उदाहरण 2. मनोऱ्याच्या पायथ्यापासून 50 मी अंतरावरून शिखराचा उन्नत कोन 60° आहे. उंची काढा.

tan 60° = h/50 → √3 = h/50
h = 50√3 = 50 × 1.73
उंची ≈ 86.5 मी

झटपट उजळणी

• A कडून B चा उन्नत कोन = B कडून A चा अवनत कोन.
• आकृती काढा: मनोरा उभा, जमीन आडवी, पायथ्याशी काटकोन.
• उंची व अंतर असेल तर tan वापरा.
• नित्यसमानता सिद्ध करताना सर्व काही sin व cos मध्ये बदला.

परीक्षेसाठी टीप

उंची-अंतराच्या उदाहरणात आकृती नक्की काढा. √3 = 1.73 फक्त शेवटच्या पायरीत ठेवा.

थोडक्यात सारांश

महत्तमापन म्हणजे वृत्तचिती, शंकू, गोल, शंकुछेद यांचे पृष्ठफळ व घनफळ, तसेच वर्तुळपाकळी व वर्तुळखंड यांचे क्षेत्रफळ काढणे.

महत्त्वाच्या संज्ञा

• तिरकस उंची (l) – शंकूच्या शिरोबिंदूपासून पायाच्या कडेपर्यंतचे अंतर.
• शंकुछेद – शंकूचा वरचा भाग पायाला समांतर कापल्यावर उरलेला भाग.
• वर्तुळपाकळी – दोन त्रिज्या व कंस यांनी बनलेला भाग.
• वर्तुळखंड – जीवा व कंस यांनी बनलेला भाग.

सूत्रे

• इष्टिकाचिती: V = l × b × h, एकूण पृष्ठफळ = 2(lb + bh + hl); घन: V = a³, एकूण पृष्ठफळ = 6a²
• वृत्तचिती: V = πr²h, वक्रपृष्ठफळ = 2πrh, एकूण पृष्ठफळ = 2πr(r + h)
• शंकू: l = √(r² + h²), V = ⅓πr²h, वक्रपृष्ठफळ = πrl, एकूण = πr(l + r)
• गोल: V = (4/3)πr³, पृष्ठफळ = 4πr²
• अर्धगोल: V = (2/3)πr³, वक्रपृष्ठफळ = 2πr², एकूण = 3πr²
• शंकुछेद: V = ⅓πh(r₁² + r₂² + r₁r₂), वक्रपृष्ठफळ = πl(r₁ + r₂), l = √[h² + (r₁ − r₂)²]
• पाकळीचे क्षेत्रफळ = (θ/360) × πr², कंसाची लांबी = (θ/360) × 2πr
• वर्तुळखंड = पाकळी − त्रिकोण

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1. शंकूची r = 7 सेमी, h = 24 सेमी. वक्रपृष्ठफळ व घनफळ काढा.

l = √(49 + 576) = 25 सेमी
वक्रपृष्ठफळ = (22/7) × 7 × 25 = 550 सेमी²
घनफळ = ⅓ × (22/7) × 49 × 24 = 1232 सेमी³
550 सेमी², 1232 सेमी³

उदाहरण 2. r = 21 सेमी, θ = 60° असलेल्या पाकळीचे क्षेत्रफळ व कंसाची लांबी काढा.

क्षेत्रफळ = (1/6) × (22/7) × 441 = 231 सेमी²
कंस = (1/6) × 2 × (22/7) × 21 = 22 सेमी
231 सेमी², 22 सेमी

झटपट उजळणी

• घनफळ सेमी³ मध्ये, क्षेत्रफळ सेमी² मध्ये.
• 1 लीटर = 1000 सेमी³; 1 मी³ = 1000 लीटर.
• वितळवून नवा आकार केला तर घनफळ बदलत नाही.
• त्रिज्या 7 च्या पटीत असेल तर π = 22/7, नाहीतर 3.14.

परीक्षेसाठी टीप

आधी सूत्र, मग किमती, मग एकक लिहा. एकक नसेल तर गुण कमी होतात.